Galois

De tijd van Galois

De gebeurtenissen die een grote rol zouden spelen in het leven van Galois begonnen bij de bestorming van de Bastille op 14 juli 1789. Vanaf dit moment begon de Franse Revolutie en werd de bestaande monarchie beëindigd. Na een woelige tijd werd in 1800 Napoleon Bonaparte eerste consul en vanaf 1804 keizer van Frankrijk. Maar Napoleon was teveel bezig met oorlogvoeren om zijn macht uit te breiden. En toen zijn veldtocht naar Rusland in 1812 op een ramp uitliep werd hij vanaf dat moment steeds verslagen en uiteindelijk in 1815 verbannen naar St. Helena.

Vanaf 1815 was Lodewijk de 18e koning en na zijn dood in 1824 werd hij opgevolgd door Charles X.
Galois zat toen net op het Lycée Louis-le-Grand en groeide op in een sterk republikeins gezin. Met name daarom kreeg zijn vader die burgemeester was van Bourg-la-Reine (vlak bij Parijs) te maken met tegenstand. Dat leidde tot de verspreiding van valse brieven uit zijn naam door een zeer conservatieve geestelijke. Évariste's vader moest erom aftreden en maakte in juli 1829 een einde aan zijn leven. Hoewel Galois in zijn jeugd niet erg politiek geïnteresseerd was, had dit waarschijnlijk toch een behoorlijke impact op zijn leven en opvattingen. Maar zijn grote passie bleef de wiskunde.

Toen in 1829 koning Charles X vluchtte uit Frankrijk ontstonden er opnieuw republikeinse groeperingen zoals de Nationale Garde. Galois raakte hierbij betrokken en kwam enkele malen in de gevangenis terecht. Intussen werd de monarchie hersteld en kwam koning Louis Philippe op de troon.

 

 

 

Over Galois

Évariste Galois werd op 25 oktober 1811 geboren als zoon van Nicholas Gabriel Galois en Adelaide Marie Demante. Beide ouders waren goed op de hoogte van filosofie en klassieke literatuur, maar er is geen enkele aanwijzing dat ze enig talent op het gebied van de wiskunde hadden. Galois' vader was in 1815 in de Franse Republiek gekozen tot burgemeester van Bourg-la-Reine, een plaats vlak bij Parijs. Galois' moeder was zijn enige leermeester tot hij 12 was.

Op 6 oktober 1823 ging Évariste naar de vierde klas van het Lycée Louis-le-Grand in Parijs. In de jaren 1824-1825 deed hij het goed op school. Maar in 1826 moest hij een jaar overdoen omdat zijn "retorica" (redeneerkunst) niet op orde was. Dat haalde bij hem veel studiemotivatie weg.
Maar in 1827 maakte hij voor het eerst kennis met de wiskunde via de lessen van M. Vernier.
En hij raakte onmiddellijk verslingerd aan dit vak. Hij stopte er veel tijd in en las wiskundeboeken als romans. Wel werd hij daardoor als bijzonder, bijna bizar, gesloten en teruggetrokken gezien door anderen. Andere vakken gaf hij duidelijk minder aandacht.
In 1828 deed hij toelatingsexamen deed voor de École Polytechnique (de belangrijkste universiteit van Parijs). Hij wilde daar mede naar toe omdat hij - net als zijn ouders - overtuigd republikeinen was en de discussies onder studenten wilde meemaken. Maar hij slaagde niet voor dit examen en bleef dus nog op het Lycée Louis-le-Grand.

Daar kreeg hij wiskunde van Louis Richard. Hij bestudeerde echter vooral de wiskundige ontwikkelingen van die tijd, werken van Legendre en Lagrange. En in april 1829 publiceerde hij zijn eerste artikel in het tijdschrift "Annales de mathématiques". Het ging over kettingbreuken en het was natuurlijk zeer uitzonderlijk dat iemand op die leeftijd zo'n kans kreeg. Op 25 mei en 1 juni stuurde hij artikelen over de algebraïsche oplossingen van vergelijkingen naar de Académie des Sciences die door wiskundige Cauchy werden beoordeeld.

Maar op 2 juli van dat jaar stierf zijn vader. Die was door de conservatieve priester van Bourg-la-Reine in het nauw gebracht. Deze verspreidde onder de naam Nicolas Galois valse vlugschriften die de positie van de liberale burgemeester ondermijnden, zodat Évariste's vader moest aftreden en zelfmoord pleegde. Dat had zijn weerslag op Évariste en toen hij enkele weken later opnieuw toelatingsexamen deed voor de École Polytechnique slaagde hij weer niet.
Daarom maakt hij eerst op 29 december 1829 zijn studie aan het Lycée Louis-le-Grand af en schreef zich in bij de École Normale, die er vlak bij was.

Intussen ontdekte hij dat zijn artikelen over vergelijkingen veel overeenkomst vertoonden met een artikel van Niels Abel (1802 - 1829). Op advies van Cauchy schreef Galois een nieuw artikel over dit onderwerp, dat aan Fourier - secretaris van de Académie des Sciences - werd gestuurd als inzending voor de grote prijs voor wiskunde van de Académie. Maar Fourier overleed kort daarna en het artikel is nooit meer teruggevonden. De prijs ging naar Abel (posthuum) en Jacobi.

 

Intussen veranderde ook de situatie in Frankrijk. Koning Charles X ontvluchtte Frankrijk en er ontstonden rellen in Parijs. De directeur van de École Normale, M. Guigniault, hield zijn studenten binnen om te voorkomen dat ze meededen aan die rellen. In artikelen viel Guigniault zijn studenten aan en daarop reageerde Galois met een artikel waarin hij Guigniault op zijn beurt aanviel. Hij werd daarom van de École Normale gestuurd en meldde zich aan voor de Nationale Garde, die eind 1830 verboden werd door de nieuwe koning Louis Philippe.
In januari 1831 probeerde Galois zich weer met wiskunde bezig te houden. Hij organiseerde lessen in de hogere algebra die in het begin veel studenten trokken, maar dat werd snel minder. Door Poisson werd hem nog verzocht om een derde versie van zijn artikel over vergelijkingen naar de Académie des Sciences te sturen, wat hij deed op 17 januari.

Enkele officieren van de verboden (republikeinse) Nationale Garde werden gearresteerd, maar later weer vrijgelaten. Daarop kwamen op 9 mei 1831 zo'n 200 republikeinen bijeen om dit te vieren. Galois was één van hen en al zwaaiend met een dolk leek hij koning Louis Philippe te bedreigen. Hij werd daarop gearresteerd en opgesloten in de Sainte-Pélagie gevangenis. Op 15 juni 1831 werd hij bij zijn rechtzaak vrijgesproken wegens gebrek aan bewijs. Op de 14de juli (herdenkening van de bestorming van de Bastille) werd hij echter weer betrapt op republikeinse provocatie en opnieuw gevangengezet. In de gevangenis ontving hij van Poisson een afwijzing van zijn artikel op grond van onvoldoende duidelijkheid in de argumentatie. De zelfmoordpoging die hij daarna ondernam werd door medegevangenen verijdeld.

In maart 1832 werden de gevangenen van de Sainte-Pélagie gevangenis vanwege een cholera-uitbraak ondergebracht in het pension Sieur Faultrier. Daar lijkt Galois verliefd te zijn geworden op Stephanie-Felice du Motel, de dochter van een inwonende arts. Toen hij op 29 april werd vrijgelaten bleek zij echter geen wederzijdse gevoelens te hebben. Op 30 april vocht hij een duel uit met éne Perscheux d'Herbinville, waarvan de reden niet heel duidelijk is, maar waarschijnlijk toch met Stephanie-Felice te maken heeft gehad. Galois overleefde dit duel niet.

 

Op de avond voor het duel schreef hij een verhandeling waarin hij zijn ideeën over de wiskunde achter het oplossen van hogeregraadsvergelijkingen leek te willen uiteenzetten. In de marge schreef hij de notitie hiernaast: "Il y a quelque chose a compléter dans cette démonstration. Je n'ai pas le temps". Ofwel "Er is nog iets te completeren in deze verhandeling. Ik heb er geen tijd voor."
Galois' broer en zijn vriend Chevalier hebben zijn mathematische geschriften gekopieerd. Ze hebben ze in eerste instantie naar Gauss en Jacobi gestuurd voor hun opinie, maar daar geen reactie op gekregen. Uiteindelijk zijn de papieren bij Liouville beland, die er wel van onder de indruk was en het materiaal in 1846 in zijn "Journal de mathématiques pures et appliquées" (dat nog steeds bestaat).

 

 

 

Galoistheorie

Onder andere door de Italianen Tartaglia en Cardona werden al in de zestiende eeuw derdegraads en vierdegraads vergelijkingen opgelost. De oplossingen waren steeds wortelvormen met `n`-de machtswortels. Daardoor kon de vergelijking worden geschreven als een product van vormen zoals `x^n - a`. En zijn vormen als `x = root[n](a)` de oplossingen van de vergelijking zijn. Deze `n`demachtswortels worden "radicalen" genoemd.

Neem bijvoorbeeld de tweedegraads vergelijking `ax^2 + bx + c = 0`.
Je weet dat deze vergelijking twee oplossingen heeft, noem ze `x_1` en `x_2`. Je vindt ze met de bekende `abc`-formule in de vorm van wortels, soms zijn het complexe getallen.
Dit betekent dat die vergelijking altijd is te schrijven als `a(x - x_1)(x - x_2)=0`.
En door haakjes uitwerken zie je dan dat `x_1 + x_2 = text(-) b/a` en `x_1 * x_2 = c/a`.

Of neem de derdegraads vergelijking `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0`.
Deze vergelijking heeft drie oplossingen, `x_1`, `x_2` en `x_3`. Je vindt ze met de formule van Cardano, zie Complexe getallen » Vergelijkingen » Toepassen, hierin komen derdemachtswortels voor.
Dit betekent dat ook die vergelijking altijd is te schrijven als `a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)=0`.
En door haakjes uitwerken vind je dat `x_1 + x_2 + x_3 = text(-) b/a` en `x_1 * x_3 + x_1 * x_2 + x_2 * x_3 = c/a` en `x_1 * x_2 * x_3 = text(-) d/a`.

Ook voor vierdegraads vergelijkingen vond men iets vergelijkbaars.
En dus werd de gedachte dat ook voor vijfde-, zesde-, `n`degraads vergelijkingen zo'n ontbinding mogelijk zou moeten zijn. De oplossingen hebben dan de vorm van radicalen die aan bepaalde eigenschappen moeten voldoen.

Het duurde even voor men erachter kwam dat er voor vijfdegraadsvergelijkingen geen algemene oplossing bestaat in radicalen. Paolo Ruffini leverde in 1799 al een (nog niet helemaal correct) bewijs. Hij gebruikte daarbij redeneringen over groepen, die in die tijd niet werden begrepen of geaccepteerd. Een correct bewijs werd door Abel geleverd in 1824. Dit resultaat staat bekend als de stelling van Abel-Ruffini. Dit is één van de eerste toepassingen van de groepentheorie in de algebra. De stelling geldt ook voor vergelijkingen van hogere graden.

Évariste Galois ontwikkelde technieken om te bepalen wanneer een gegeven vergelijking kan worden opgelost door te ontbinden in radicalen. Vanuit deze technieken is na de dood van Galois de galoistheorie ontstaan.

 

 

 

---

Math4all