Lagrange

De tijd van Lagrange

Turijn was een stad in Noord-Italië, de voormalige hoofdstad van het hertogdom Savoie, maar in de tijd van Lagrange de hoofdstad van het Koninkrijk Sardinië. Lagrange's vader was in dienst van de koning van Sardinië.

Lagrange groeide er op in de tijd na de grote wiskundigen Newton en Leibniz en ten tijde van andere grootheden op het Westeuropese vasteland als Euler, de Bernoulli's, D'Alembert, Laplace. Hij stond met hen in verbinding via brieven en publicaties, maar Turijn was - gezien vanuit het oogpunt van de wiskunde - bepaald niet de plaats 'waar het allemaal gebeurde'. Daarom waren zowel Berlijn (waar Euler toen werkte) en Parijs (waar D'Alembert zat) voor Lagrange aantrekkelijke plaatsen om te werken. Hij koos eerst voor Berlijn (tot 1787) en later voor Parijs.

 

In Parijs kwam hij terecht in de Franse Revolutie (die in 1782 was begonnen). Daarbij werd Frankrijk (op bloedige wijze) omgevormd van een door de adel geregeerd keizerrijk naar een door het Franse volk zelf geregeerde Republiek. Lang niet alle bekende wetenschappers bleven daarbij ongedeerd, zeker degene die van adellijke komaf waren en door het op dat moment zittende regime als tegenstander werden aangemerkt konden zo maar worden ontslagen of zelfs onthoofd (Lavoisier, de beroemde scheikundige, overkwam dat).
In die tijd werd de organisatie van de overheid een belangrijk onderwerp: er werden scholen gesticht om nieuwe overheidsdienaren op te leiden (die kwamen niet langer zonder meer uit de adel voort) en werden allerlei zaken onder overheidscontrole gesteld. Zo ontstond in 1794 de École Polytechnique en wat later de École Normale (waar leraren werden opgeleid). Ook kwam er een commissie tot standaardisering van de maten en de gewichten. Lagrange speelde in deze ontwikkelingen zijn deuntje mee...

 

 

 

Over Lagrange

Joseph-Louis Lagrange werd op 25 januari 1736 geboren in de Noord-Italiaanse stad Turijn als Giuseppe Lodovico Lagrangia. Zijn vader was Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, het hoofd van de Dienst publieke werken en fortificaties van Turijn. Zijn moeder was Teresa Grosso, de enige dochter van een arts uit Cambiano (een plaats vlak bij Turijn). Giuseppe was de oudste van hun 11 kinderen, waarvan er maar twee de volwassen leeftijd behaalden. De jonge Giuseppe was al vroeg zeer geïnteresseerd in zijn Franse voorouders, zijn overgrootvader was een Franse kapitein van de cavalerie die Frankrijk verliet om voor het Hertogdom Savoie te werken waarvan Turijn toentertijd de hoofdstad was. Later werd het de hoofdstad van het Koninkrijk Sardinië, Giuseppe's vader was in dienst van de koning van Sardinië. Hoewel deze een baan van enig belang had, was de familie Lagrangia niet rijk als gevolg van mislukte speculaties.

 

Giuseppe ging aanvankelijk rechten studeren aan het College van Turijn, wiskunde vond hij maar saai. Maar het lezen van Edmund Halley's werk over het gebruik van algebra in de optica (de theorie van licht, spiegels en lenzen) wekte zijn interesse in natuurkunde en wiskunde. Bovendien werd hij gestimuleerd door zijn natuurkundeleraar Beccaria. Lagrange besloot uiteindelijk om verder te studeren in de wiskunde. Hij moest daarbij wel grotendeels zichzelf de theorie eigen maken, want in Turijn had hij niet de mogelijkheid om met belangrijke wiskundigen om te gaan. Zijn eerste wiskundige publicatie, een brief van 23 juli 1754 aan Giulio Fagnano, was dan ook geen meesterwerk van geniale vernieuwing. Hij schreef over het verband tussen het binomium van Newton en de afgeleiden van producten van functies. Hij ondertekende met Luigi de la Grange Tournier en koos daarmee voor zijn Franse voorouders.

Voordat hij zijn geschrift in het Italiaans publiceerde had hij een Latijnse versie ervan naar Euler in Berlijn gestuurd. En een maand na de publicatie ontdekte hij dat Johann Bernoulli al eerder met Leibniz deze zelfde resultaten had besproken. Dat verontrusste Lagrange heel erg, want hij wilde niet van plagiaat worden beschuldigd. Daarom zette hij zich met verdubbelde ijver aan het werk om echte nieuwe wiskundige theorieën te ontwikkelen.
Zijn eerstvolgende onderwerp van studie was de "tautochroon", dat is de kromme waarlangs een deeltje onder invloed van de zwaartekracht moet bewegen om in een zo kort mogelijke tijd van punt $A$ naar punt $B$ (in een verticaal vlak gelegen) te komen.
Daarbij zette hij de eerste stappen op het gebied dat later (in 1756) door Euler de variatierekening werd genoemd. Zijn "méthode de variation" beschreef hij in een brief van 12 augustus 1755 aan Euler die hem op 6 september een antwoord stuurde waarin hij zijn bewondering voor de nieuwe ideeën uitte.

 

Hoewel hij nog maar 19 jaar oud was, werd Lagrange op 28 september 1755 benoemd tot hoogleraar wiskunde aan de Koninklijke Artillerieschool in Turijn. In 1756 liet hij Euler verdere resultaten betreffende de variatierekening zien, het betrof toepassingen ervan op de mechanica. Euler was onder de indruk en besprak het werk van Lagrange met Maupertuis, het hoofd van de Berlijnse Akademie. Maupertuis probeerde Lagrange naar Berlijn te halen, maar deze weigerde.

Het jaar daarop was Lagrange medeoprichter van de Koninklijke Academie van Wetenschappen in Turijn. Eén van de belangrijkste taken van deze nieuwe vereniging was de uitgave van het tijdschrift "Mélanges de Turin" met artikelen in het Frans of het Latijn. Lagrange was een belangrijke leverancier van artikelen in dit tijdschrift. Artikelen over de variatierekening, over de grondbeginselen van de dynamica, over differentiaalvergelijkingen, over de kansrekening, over de voortplanting van geluid en de trillende snaar, over de dynamica van vloeistoffen (waarbij hij de Langrangiaan, een bijzondere soort functies invoerde). Ook paste hij zijn methoden toe op de studie van de banen van Jupiter en Saturnus.
Hij trouwde in 1765 met zijn nicht Vittoria Conti.

 

Intussen had ook D'Alembert van de nog jonge Lagrange gehoord. Tijdens een bezoek aan de Berlijnse Akademie en koning Frederik II van Pruissen noemde hij Langrange als mogelijke opvolger van Euler die in maart 1766 naar St. Petersburg zou terugkeren. Uiteindelijk accepteerde Lagrange een goede aanbieding van Frederik II en hij vertrok (eerst naar D'Alembert in Parijs en later) naar Berlijn.
Op 6 november 1766 volgde hij Euler op als directeur wiskunde van de "Berliner Akademie der Wissenschaft". Hij raakte er snel bevriend met Lambert en Johann (III) Bernoulli. Zo'n 20 jaar lang werkte hij er, waarbij hij een hele stroom van belangrijke wiskundige geschriften publiceerde over mechanica, dynamica, beweging van vloeistoffen, de stabiliteit van het zonnestelsel, kansrekening, de grondslagen van de analyse. In 1772 deelde hij de prijs van de Académie des Sciences in Parijs met Euler (met een bijdrage over het drie-lichamen-probleem), in 1774 en in 1780 won hij deze prijs alleen (de eerste met een bijdrage over de beweging van de maan en de tweede over verstoringen in de beweging van kometen veroorzaakt door planeten). Ook werkte hij aan de getallentheorie: in 1770 bewees hij dat elk positief getal de som van vier kwadraten is, in 1771 bewees hij de stelling van Wilson dat $n$ dan en slechts dan een priemgetal is als $\left(n-1\right)!+1$ deelbaar is door $n$.
In 1770 publiceerde hij zijn "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" waarin hij onderzocht waarom alleen vergelijkingen tot en met de vierde graad kunnen worden opgelost. Daarbij beschouwde hij deze oplossingen als abstracte grootheden waarvan de eigenschappen konden worden onderzocht. Lagrange zette zo de eerste stappen op het gebied waar Galois later een algemene theorie zou bouwen.
Verder begon hij een alomvattend werk over mechanica genaamd "Traité de mécanique analytique" waarin hij zijn eigen bijdragen nog eens uitgebreid kon uiteenzetten.

 

Intussen probeerde men in Italië om Lagrange te bewegen om daarnaar terug te keren. Maar deze wilde zich vooral rustig aan zijn wiskunde kunnen wijden, dus hij sloeg voorlopig alle aanbiedingen af. Pas toen in 1783 zijn vrouw stierf en drie jaar later ook zijn beschermheer Frederik II kwam te overlijden, besloot Lagrange te vertrekken uit Berlijn. Het beste aanbod kreeg hij uit Parijs, hij hoefde niet eens les te geven maar kon zonder veel verplichtingen zijn eigen werk voortzetten.
Op 18 mei 1787 vertrok hij om lid te worden van de Académie des Sciences in Parijs, waar hij de rest van zijn loopbaan zou blijven. Hij paste zich naadloos aan de sterk veranderende Franse samenleving (het was de tijd van de Franse revolutie) en wist zo deze moeilijk periode te overleven.
In 1788 werd zijn "Traité de mécanique analytique" gepubliceerd onder supervisie van de Académie van Parijs. Het boek vatte alle theorie over mechanica sinds Newton samen. Het berustte geheel op de oplossen van differentiaalvergelijkingen, waardoor de mechanica een tak van de toegepaste wiskunde werd. Verder werd Lagrange lid van de commissie tot standaardisering van de maten en de gewichten. Deze commissie werkte aan een compleet metrisch stelsel en het gebruik van de decimale notatie voor getallen.

 

In 1792 trouwde Lagrange voor de tweede keer met Renée Françoise Adelaide le Monnier, de dochter van een van zijn sterrenkunde collega's aan de Académie.
In 1793 werd de Académie des Sciences door het terreurregiem opgeheven, maar Lagrange mocht blijven en werd zelfs voorzitter van de commissie voor maten en gewichten, terwijl mensen als Laplace en Coulomb er uit werden gegooid. In september 1793 werd een wet aangenomen op grond waarvan alle buitenlanders moesten worden gearresteerd en hun bezittingen in beslag werden genomen. De bekende chemicus Lavoisier deed een goed woordje voor Lagrange en deze kreeg een vrijwaring; later (in 1794) werd Lavoisier door een revolutionair tribunaal ter dood veroordeeld.

 

Op 11 maart 1794 werd de École Polytechnique in Parijs gesticht; de opening was in december van dat jaar. Lagrange werd er de eerste hoogleraar in de analyse. Bovendien werd in 1795 de école Normale opgericht om leraren op te leiden; daar gaf Lagrange elementaire wiskunde. Hoewel Lagrange bij zijn aanstelling in Parijs geen les hoefde te geven, veranderde de revolutie alles. Een echt goede leraar (zoals Fourier) was hij niet, mede vanwege zijn Italiaanse accent en zijn abstracte benadering van het onderwerp.
In 1797 publiceerde hij zijn beroemde "Théorie des fonctions analytique", de eerste theorie over functies van één variabele inclusief het werken met 'het oneindig kleine', limieten en differentialen. Helemaal waterdicht was zijn aanpak echter nog niet, daarover zouden wiskundigen als Weierstrass zich pas meer dan een halve eeuw later buigen.
Later schreef Lagrange nog een tweede werk over dit onderwerp, namelijk "Leçons sur le calcul des fonctions" in 1800.

Napoleon verleende Lagrange op grond van zijn verdiensten het "Légion d'Honneur" in 1808 en op 3 april 1813 kreeg hij het "Grand Croix de l'Ordre Impérial de la Réunion". Een week later stierf Lagrange.

 

 

 

De variatierekening

Lagrange was één der grondleggers van de variatierekening. De variatierekening ontstond door het zoeken van oplossingen van problemen zoals:

1 - Welke weg volgt een lichtstraal vanuit een punt $A$ naar een punt $B$ als $A$ in lucht en $B$ in een ander medium (bijvoorbeeld glas) zit, dus er sprake is van lichtbreking?

2 - Een massapunt $P$ beweegt in een zwaartekrachtveld van $A$ naar $B$ in zo kort mogelijke tijd. Welke vorm heeft de baan die $P$ doorloopt?

3 - Welke driehoek van een bepaalde omtrek omsluit een zo groot mogelijke oppervlakte?

4 - Een boer loopt via een sloot waar hij water kan halen naar zijn dorstige koe. Wat is de kortste route?

 

Het eerste probleem was al bekend in de tijd van Fermat, Huygens en de Nederlandse wiskundige Snellius. De oplossing ervan is vervat in de beroemde brekingswet van Snellius: $\frac{\sin \left(i\right)}{\sin \left(r\right)}=n$, waarin $i$ de hoek van inval, $r$ de hoek van breking (refractie) en $n$ de brekingsindex van het medium (glas) is.
Deze wet van Snellius kun je zelf afleiden door de tijd die de lichtstraal nodig heeft voor zijn weg te berekenen (afhankelijk van de voortplantingssnelheid in lucht en die in glas) en die te minimaliseren. Dat principe van een functie (de tijd) die minimaal is op een bepaalde weg en de vorm van die weg als gevolg daarvan zijn het typische onderzoeksgebied van de variatierekening. Bekijk de animatie hiernaast.

Het tweede probleem werd door diverse wiskundigen bestudeerd. Johann (I) Bernoulli stelde het probleem in juni 1691 en zowel hijzelf als Euler en Lagrange bogen zich er over. Ook hier gaat het om de vorm van de baan die het massapunt doorloopt als de tijd die het erover mag doen minimaal moet zijn. De baan bleek de vorm van een cycloïde te moeten hebben, diverse wiskundigen vonden deze oplossing. Maar Lagrange bedacht een speciale en algemeen bruikbare techniek. Hij varieerde de gehele route en leidde uit die variaties een type differentiaalvergelijkingen af, de Lagrangiaan. Deze differentiaalvergelijkingen moesten dan afhankelijk van de te minimaliseren (of maximaliseren) functie op de doorlopen baan, worden opgelost. Er ontstond zo een complete nieuwe theorie die Lagrange zijn "methode van variaties" noemde, maar die Euler later omdoopte tot de "variatierekening".

 

 

 

---

Math4all