Priemgetallen

#22

Waar gaat het over?

 

Priemgetallen zijn natuurlijke getallen vanaf `2` die alleen door zichzelf en `1` kunnen worden gedeeld. Je vindt ze door uit de natuurlijke getallen de tweevouden, drievouden, vijfvouden (vier is al weggezeefd), de zevenvouden, enz, weg te zeven. Hier zie je de priemgetallen onder de `100`.

 

Hoe werkt het?

 

Elk geheel getal is te schrijven als product van priemgetallen. Bijvoorbeeld:

 

`206605080 = 2^3 * 3^4 * 5 * 11^2 * 17 * 31`.

 

De priemgetallen zijn daarom de bouwstenen van alle gehele getallen: alle getallen kunnen in priemgetallen worden uitgedrukt. Grote priemgetallen zijn erg zeldzaam. Maar toch zijn er oneindig veel van.
Priemgetallen spelen tegenwoordig een grote rol bij het heen en weer sturen van geheime wachtwoorden via internet. Het gaat dan over encryptie (versleuteling) van codes, bijvoorbeeld d.m.v. RSA.

Wie en wanneer?

 

Beroemd zijn de bewijzen van Euklides dat er oneindig veel priemgetallen zijn en dat elk natuurlijk getal is te schrijven als het product van priemfactoren. De zeef van Erathostenes is een manier om priemgetallen te vinden.

 

Tegenwoordig zijn grote priemgetallen belangrijk.
De zoektocht naar dergelijke grote priemgetallen gaat voort...
In het bijzonder zoekt men Mersenne-priemgetallen. Die hebben de vorm `2^n - 1`, waarin `n` een natuurlijk getal is. Op 23 augustus 2008 werd in het kader van GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) het tot nu toe grootste Mersenne-priemgetal `2^(43112609) - 1` gevonden, een getal van `12978189` cijfers.

Kernwoorden op deze pagina:

  • natuurlijke getallen
  • deelbaarheid
  • zeef van Erathostenes
  • RSA