Benaderingsmethoden

Waar gaat het over?

Rekenapparatuur maakt vaak gebruik van benaderingsmethoden op oplossingen van vergelijkingen, of nulpunten van functies te vinden, of zelfs bij het tekenen van grafieken van functies als `f(x) = sin(x)` of `g(x)=log(x)`, en dergelijke. Er bestaan diverse benaderingsmethoden. Bijvoorbeeld oplossingen van vergelijkingen zoeken met inklemmen door steeds nauwkeuriger tabellen te maken. Maar dat duurt eindeloos lang...

Hoe werkt het?

Twee bekende benaderingsmethoden zijn:

• De Taylorreeks voor het benaderen van functiewaarden van functies die je kunt differentiëren:
  `f(x) = f(a) + (f'(a))/(1!)*(x-a) + (f''(a))/(2!)*(x-a)^2 + (f^((3))(a))/(3!)*(x-a)^3 + ...`
  geeft een benadering voor `f(x)` voor `x` dicht bij `a` met behulp van steeds hogere afgeleiden.
• De methode van Newton/Raphson om vergelijkingen van de vorm `f(x)=0` op te lossen.
  Met `x_(n+1) = x_n - (f(x_n))/(f'(x_n))` krijg je voor `n=1,2,3,...` een steeds betere benadering van de gevraagde waarde van `x`.

Wie en wanneer?

In 1715 formuleerde de Britse wiskundige Brooke Taylor de stelling waarmee elke functie in de omgeving van een bepaalde punt van de grafiek kan worden benaderd door een veelterm. Zo'n veelterm heet een Taylorreeks.

Rond 1670 formuleerde Isaac Newton een benaderingsmethode voor het nulpunt van een derdegraads functie. Joseph Raphson formuleerde deze methode wat algemener en rond 1740 gaf Thomas Simpson hem de algemene vorm die je hiernaast ziet. Simpson werkte in zijn opzet met de raaklijn aan de grafiek van de functie en daarvoor heb je de afgeleide ervan nodig.