Overzicht geschiedenis algebra

De klassieke algebra is de studie van het oplossen van vergelijkingen, het vinden van het onbekende getal in een in woorden (en later in een vergelijking met variabelen) beschreven probleem.
De moderne algebra is veel abstracter en gaat over structuren in systemen van bewerkingen (zoals het gewone rekenen met getallen en variabelen, maar ook logische operatoren in allerlei situaties).

 

Indeling van dit onderdeel van de geschiedenis van de wiskunde:

 

Het oude Egypte

Veel van onze kennis over de wiskunde in het oude Egypte is gebaseerd op de Rhind-papyrus (zie hiernaast). Deze payrus is geschreven in ongeveer 1650 v.Chr. door Ahmes. Hij beweerde daarop de wiskundige kennis van ongeveer 1850 v.Chr. vast te hebben gelegd.
De oude Egyptenaren konden algebraïsche problemen oplossen die zijn te vergelijken met het oplossen van een lineaire vergelijking met één onbekende. Zij gebruikten daarbij geen symbolen, maar beschreven het probleem en de oplossing in woorden. Hun oplossingsmethode

De papyrus van Caïro van omstreeks 300 v.Chr. laat zien dat de Egyptenaren op dat moment ook in staat waren om problemen op te lossen die wij zouden omschrijven als het oplossen van twee kwadratische vergelijkingen met twee onbekenden.
Hun manieren van oplossen werden echter behoorlijk gehinderd door het feit dat zij nooit een handige manier vonden om met breuken te werken. Decimale getallen kenden ze al helemaal niet...

 

 

 

Babylonië

De wiskunde van de Babyloniërs (1800 - 1600 v.Chr.) ontplooide zich verder dan die van de oude Egyptenaren. Hun goed functionerende zestigtallig getalstelsel stelde ze in staat om zeker op het gebied van de algebra veel vooruitgang te boeken. Zo konden zij al in het algemeen een kwadratische vergelijking met één onbekende oplossen. Ze beschikten in feite over de abc-formule, zij het in een vorm die wij maar heel moeilijk zouden herkennen. Ook zij beschreven namelijk al hun problemen en oplossingen in woorden (af en toe ondersteund door plaatjes) en gebruikten vrijwel geen symbolen voor bewerkingen en variabelen.

Al hun oplossingsmethoden werden beschreven in voorbeelden op kleitabletten en er werden geen toelichtingen of bewijzen bij gegeven. Ook zij kenden alleen gehele getallen en verhoudingen van gehele getallen (zeg maar breuken). Wel probeerden ze benaderingen te vinden voor wortels (als zijnde de lengte van de zijde van een vierkant met b.v. een oppervlakte van 2). Ook hielden ze zich toen al bezig met het oplossen van problemen met twee of meer onbekenden.

 

 

 

De oude Grieken

De Griekse klassieke meetkundige aanpak

De oude Grieken kenden evenals de Egyptenaren en de Babyloniërs uit die tijd alleen positieve gehele getallen en hun verhoudingen, dus eenvoudige breuken. Irrationale getallen (zoals wortels) waren in die tijd onbestaanbaar. Toch merkten de ook Grieken wel dat dergelijke "onmeetbare" getallen bestonden (denk maar aan de lengte van de zijde van een vierkant met oppervlakte 2). Zij konden daarmee niet rekenen zoals met "gewone" getallen, maar ze voerden er toch bewerkingen mee uit door dergelijke getallen op te vatten als lijnstukken en daarmee constructies uit te voeren.
Een groot deel van het beroemde boek "De Elementen" van Euklides is aan het werken met verhoudingen gewijd. Toch was deze manier van opereren met getallen te omslachtig om vooruitgang verder dan die van de Babyloniërs te bevorderen. Het enige belang ervan was dat het de mogelijkheid bood om eerdere resultaten ook echt te bewijzen vanuit een paar basisaannamen. De verdere ontwikkeling van de algebra was door deze aanpak vele eeuwen in feite onmogelijk.

 

Diophantos

Pas omstreeks 250 na Chr. sloeg de laat-Griekse wiskundige Diophantos een andere dan de meetkundige weg in. Hij voerde een verkorte symbolische notatie voor de vergelijkingen in, die niet op meetkunde was gebaseerd. Toch bleef het beschrijven in woorden nog vele eeuwen in zwang!
Diophantos behandelde in zijn werk "Arithmetica" stelsels van twee of meer vergelijkingen met meerdere variabelen die oneindig veel oplossingen hebben. Dergelijke vergelijkingen noemen wiskundigen tegenwoordig 'Diophantische vergelijkingen'. Algemene methoden kende hij niet: elk van de 189 problemen die hij beschrijft lost hij op een andere manier op. Bovendien liet hij uitsluitend positieve rationale oplossingen toe. En als een kwadratische vergelijking twee positieve rationale oplossingen had, gaf hij er maar één. Ook kende zijn werk geen systematische opbouw zoals "De Elementen" van Euklides.

 

 

 

Hindoe-Arabische algebra

Hindoe algebra

De Hindoes kenden in India al sinds 2000 v.Chr. een echte beschaving en vanaf zo'n 800 v.Chr. hielden zij zich ook met wiskunde bezig vanuit hun belangstelling voor astronomie (als uitvloeisel voor hun interesse in astrologie!). Echter pas nadat zij via het Perzische Rijk en Alexander de Grote in aanraking kwamen met de Griekse wiskunde, deden zij belangwekkende vervolgstappen.
Hun belangrijkste bijdrage was een tientallig systeem voor getallen. Bovendien werkten zij als eerste met `0` als getal. Vanaf 600 na Chr. hoorde dit tientallig stelsel en het getal `0` tot hun standaardrepertoire.

 

 

De wiskundige Brahmagupta gebruikte vanaf ongeveer 628 negatieve getallen als schuld. En in 1114 beweerde Bhaskara dat elk positief getal twee wortels heeft. De Hindoes ontwikkelden ook passende procedures voor het rekenen met irrationale getallen (zoals wortels).
Als gevolg hiervan boekten zij vooruitgang in de algebra en de rekenkunde. Ze ontwikkelden enkele symbolische notaties waarin zij duidelijk verder gingen dan Diophantos. Echter ook zij beschreven alleen de oplossingen van algebraïsche problemen, maar gaven geen bewijzen voor hun methoden.
De Hindoes wisten wel dat kwadratische vergelijkingen twee wortels hadden, zij gebruikten ook negatieve wortels en wortels die een irrationaal getal opleverden als acceptabele uitkomsten. Toch konden zij niet alle kwadratische vergelijkingen oplossen, want zij hadden nog geen notatie voor de wortel uit een negatief getal. Verder zetten zij ook verdere stappen op het gebied van vergelijkingen met oneindig veel oplossingen. Bijvoorbeeld Aryabatha vond rond 500 paren van gehele getallen die voldeden aan vergelijkingen van de vorm `ax + by = c`.

 

Arabische algebra

In de zevende en de achtste eeuw veroverden de Arabieren, verenigd door Mohammed in de Islam, onder leiding van hun kaliefs het gebied vanaf India via Noord-Afrika tot in Spanje. In de daarop volgende eeuwen (met name onder en na kalief Haroen al-Rashid) kwam hun beschaving tot grote bloei. Zij zorgden er voor dat de wetenschappelijke ontdekkingen van de oude Grieken (na het verval van het Romeinse Rijk) en die vanuit India bewaard bleven en uiteindelijk in West-Europa terecht kwamen. Zij vertaalden veel van het oorspronkelijke Griekse materiaal in het Arabisch, waar vanuit later door West-Europese wetenschappers vertalingen in het Latijn werden gemaakt.
Bovendien leverden zij eigen bijdragen door het cijfersysteem van de Hindoes te verbeteren en het positiestelsel in te voeren. Ook verbreiden zij het rekenen met irrationale getallen. Alleen met negatieve getallen hadden ze weinig op, hoewel ze er door de Hindoes mee bekend werden.

 

Het woord "algebra" stamt ook uit een fonetische vertaling van de titel van een boek dat rond 830 is geschreven door de Arabische astronoom en wiskundige Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, namelijk: "Hisab al-jabr w'al muqabala". Ons woord "algoritme" is een verbastering van de naam Al-Khowarizmi.
De Arabische algebra was weer volledig zonder symbolen voor rekenbewerkingen; alles werd in woorden beschreven. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen was een bekend gegeven, maar vaak werden negatieve oplossingen verworpen, met name ook omdat hun algebra erg praktisch toepasbaar moest zijn. De dichter en wiskundige Omar Khayyam (1050 - 1130) zette stappen op het gebied van het oplossen van derdegraads vergelijkingen met meetkundige methoden.
En net als Diophantos en de Hindoes hielden de Arabische wiskundigen zich bezig met het vinden van passende getallencombinaties voor vergelijkingen met oneindig veel oplossingen.

 

 

 

West-Europese algebra

Na 1500 begon in West-Europa de Renaissance. Het Christendom had daar na het einde van het Romeinse Rijk in de daarop volgende eeuwen de macht overgenomen en via kloosters was het wetenschappelijk denken niet geheel verdwenen. Toen de economie daar rond 1500 weer aantrok ontstond er behoefte tot een soort van wedergeboorte en verdere ontwikkeling van de klassieke beschavingen. Contact met de Arabische wereld was eerst via de kruistochten, maar later op meer positieve wijze blijven bestaan. Veel van de Arabische wetenschappelijke geschriften werden in het Latijn vertaald.

 

De Arabische algebra (en daarmee ook de algebra van alle voorgaande beschavingen) werd snel gemeengoed. Het tientallig positiestelsel werd geaccepteerd, evenals het werken met irrationale getallen. Alleen tegenover negatieve getallen stond men nog wat huiverig en complexe getallen (zoals `i`, de oplossing van `i^2 = text(-)1`) waren nog onvoorstelbaar. In navolging van de Arabieren was de algebra weer volledig teruggevallen op een beschrijving van vergelijkingen en oplossingen in woorden.

 

Toch werd er vooruitgang geboekt bij het oplossen van derdegraads en vierdegraads vergelijkingen, waarvan de resultaten werden geboekstaaft in 1545 in de "Ars Magna" van Cardano. Nog steeds werd de algebra echter beschreven in woorden, wat verdere vooruitgang bemoeilijkte. De wiskundige Vièta (1540 - 1603) zorgde echter voor een kentering door letters in te voeren voor bekende constanten. Daardoor kon de algebra in plaats van een verzameling oplossingstrucs voor afzonderlijke vergelijkingen te blijven veel algemener worden bestudeerd. Ook hij had nog geen volledig symbolisch systeem ontwikkeld, daarvoor waren nog bijdragen van diverse andere wiskundigen nodig. Een volledig gebruik van symbolische schrijfwijzen werd pas bereikt in "La Géometrie" van Descartes. Bovendien werd daarin de algebra ook toegepast op meetkundige problemen, waardoor het belang ervan enorm toenam.
Aan het einde van de zeventiende eeuw was het gebruik van een totale symbolische taal voor de algebra gemeengoed onder wiskundigen geworden. Het enige wat nog ontbrak was een axiomatische opzet (een opzet vanuit maar een paar aangenomen grondbeginselen) zoals dat al sinds Euklides voor de meetkunde bestond.

 

 

 

Moderne algebra

Pas vanaf 1800 werd algebra opgevat als de beschrijving van systemen van het opereren met diverse wiskundige objecten (zoals getallen, vectoren, matrices, transformaties, e.d.). De algebra werd daardoor ineens veel abstracter: het ging niet alleen meer om het beschrijven van operaties met getallen en het oplossen van vergelijkingen.

 

De Britse wiskundige Peacock (1791 - 1858) was de eerste die echt aandacht schonk aan een axiomatische opzet van de algebra. Zijn Britse collega De Morgan (1806 - 1871) breidde zijn werk uit tot het bestuderen van operaties met abstracte symbolen en de Ier Hamilton (1805 - 1865) liet zien dat met complexe getallen een volledig algebraïsch systeem kon worden opgezet door ze op te vatten als paren van reële getallen.
Het optellen definieerde hij zo:

`(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)`

het vermenigvuldigen zo:

`(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)`.

De Amerikaan Gibbs (1839 - 1903) ontwikkelde een algebra voor vectoren in een driedimensionale ruimte.
De Brit Cayley (1821 - 1895) ontwierp een algebra voor matrices.

 

Nog abstracter was de studie van de systemen van operaties die konden ontstaan vanuit één (bijvoorbeeld alleen optellen) of twee bewerkingen (optellen en vermenigvuldigen) gebaseerd op een klein aantal axioma's (basisveronderstellingen).
De Fransman Galois (1811 - 1832) bedacht het begrip "groep" als het geheel van operaties met één bewerking gebaseerd op slechts drie axioma's. Met behulp van dit begrip kon Galois bewijzen welke veeltermvergelijkingen algemeen oplosbaar zijn met algebraïsche middelen. Het begrip "lichaam" werd door de Duitse wiskundige Dedekind in 1879 ingevoerd als het geheel van operaties met twee bewerkingen gebaseerd op een klein aantal axioma's.
De Italiaanse wiskundige Peano (1858 - 1932) ontwierp in 1889 een axiomatische opbouw van het systeem van de natuurlijke getallen. Daarna werd aangetoond dat alle andere getallen vanuit de natuurlijke getallen kunnen worden opgebouwd.

 

Tot in onze tijd is de abstracte algebra een onderdeel van de wiskunde waarin veel ontwikkelingen gaande zijn. Denk maar aan de zoektochten naar priemgetallen (i.v.m. coderingen van digitale informatie) en de Booleaanse algebra die zo'n grote rol speelt in de computerwereld, e.d.