Indiase / Arabische cijfers

De cijfers waarmee je werkt worden wel Arabische cijfers genoemd. Dat komt omdat ze omstreeks 1150 in West-Europa zijn overgenomen vanuit het Arabisch. En via West-Europa zijn ze naar grote delen van de wereld gekolonialiseerd. Maar van oorsprong komen deze cijfers uit het oude India, het zijn daarom eigenlijk meer Indiase cijfers. In diverse taalgroepen hebben deze cijfers zich op verschillende manieren ontwikkeld. Maar het fundament er onder - een tientallig positiestelsel met tien cijfers - is vrijwel overal overgenomen.

 

Inhoud

 

Ons huidige cijfersysteem

Tegenwoordig wordt in grote delen van de wereld een cijfersysteem gebruikt zoals je dat op school hebt geleerd. Dit heet het tientallig stelsel of ook wel het decimale stelsel ("deci" staat voor "tien"). In dat stelsel gebruik je tien cijfers: `0`, `1`, `2`, `3`, `4`, `5`, `6`, `7`, `8` en `9`. Met deze tien symbolen kunnen alle getallen worden gemaakt.

Dat gebeurt door een positiestelsel te gebruiken: de plaats van een cijfer bepaald de waarde ervan. Bekijk dit voorbeeld maar:

Je ziet, dat elk cijfer een veelvoud van een macht van `10` voorstelt. In het getal hierboven:

  • stelt de `6` de waarde `6 * 10^3` voor;
  • stelt de `0` de waarde `0 * 10^1` voor;
  • stelt de `2` de waarde `2 * 10^0` voor;
  • stelt de `4` de waarde `4 * 10^(text(-)2)` voor.

 

De decimale komma gebruik je als scheidingsteken tussen de machten van `10` die groter of gelijk `0` zijn en de machten van `10` die kleiner dan `0` zijn. Dit doen wij in Nederland anders dan in Engelstalige landen, die gebruiken een decimale punt waar wij de komma gebruiken. De meeste rekenmachines doen dat ook.
Dit wordt pas vervelend als je ook om de drie cijfers scheidingstekens wilt gebruiken. Zo betekent `12,345` bij ons in Nederland `12 345/1000` en in een Engelstalig land "twaalfduizend driehonderd vijfenveertig". Erg stom natuurlijk die twee systemen naast elkaar, maar ja, ook wiskunde blijft mensenwerk (en dus soms gebroddel).

 

 

 

Het ontstaan van de cijfers in het oude India

Al zo'n 300 jaar v>Chr. werd in het Oude India het Brahmi-systeem voor getallen gebruikt. Daarin werden symbolen gebruikt voor `1` t/m `9` de je kunt zien als voorloper van onze cijfers. Een symbool voor `0` was er niet, dus voor `10`, `20`, `30`, ..., `100`, `200`, `300`, ..., enzovoorts, waren steeds weer nieuwe symbolen nodig. Een getal als `123 = 100 + 20 + 3` schrijf je door de bijbehorende symbolen voor `100`, `20` en `3` in een afgesproken volgorde achter elkaar te zetten. En voor nog grotere getallen moet je weer nieuwe symbolen voor `1000`, `2000` enzovoorts, bedenken.
Hier zie je enkele Brahmi-cijfers.

 

Omstreeks 500 na Chr. was er een Indiase geleerde zat van dit systeem en hij bedacht de `0` en het positiestelsel. Of hij dat helemaal zelf heeft bedacht of ideeën uit het oude China of van de oude Grieken heeft meegekregen, is onbekend, contacten tussen die verschillende culturen bestonden er genoeg. En het duurde ook nog wel een paar honderd jaar voordat dit positiestelsel echt gemeengoed werd. De Indiase wiskundige Brahmagupta (598 - 670) gebruikte dit positiestelsel voor het rekenen met getallen (en voerde ook het begrip "negatief getal" in).

 

Toen na 650 na Chr. het Arabische (islamitische) Rijk in opkomst raakte, werd al snel Baghdad het centrum van van dit steeds uitdijende rijk. Omstreeks 775 na Chr. raakte het Indiase cijfersysteem ook in het "Huis der wijsheid" in Baghdad bekend. En omstreeks 830 schreef de beroemde wiskundige Al-Khwarizmi (780 - 845) in zijn beroemde boek "Hisab al-jabr w'al-muqabala" over algebra en dit positiestelsel voor getallen.

 

 

 

Zestigtallig versus tientallig

Nu het werken met tien cijfers en het tientallig stelsel in de uitdijende Arabische wereld terecht was gekomen, leek niets het succes ervan nog in de weg te staan. Maar dat liep toch wat moeizamer. De astronomen in die tijd konden beter uit de voeten met het in die regio traditionele zestigtallig stelsel. En anderen gebruikten toch liever getallen in woorden uitgeschreven. Dat kwam ook omdat de vorm van de cijfers nog totaal niet vastlag en wat de één als een `3` schrijft voor een ander wel een ander cijfer kon voorstellen. Een ander probleem was natuurlijk, dat de voordelen ervan niet gemakkelijk duidelijk werden omdat papier schaars en duur was en je dus niet even gemakkelijk een vermenigvuldiging of een deling kon uitschrijven op een blaadje.

 

Om bijvoorbeeld `832 xx 64` te berekenen werkte Al-Khwarizmi met een bakje gevuld met zand of een leitje volgens de procedure:

  • vermenigvuldig eerst de `8` met `64`, je krijgt `512`;
  • veeg nu de `8` weg en vervang die door de `2` van `512` en tel de `51` bij de cijfers links van het zojuist vervangen cijfer, je krijgt `51232`;
  • vermenigvuldig vervolgens de `3` met `64`, dat is `192`;
  • veeg nu de `3` weg en vervang die door de `2` van `192` en tel de `19` op bij de cijfers links van het zojuist vervangen cijfer, je krijgt `53122`;
  • vermenigvuldig tenslotte de `2` met `64`, dit is `128`;
  • veeg nu de `2` weg en vervang die door de `8` van `128` en tel de `12` op bij de cijfers links van het zojuist vervangen cijfer, je krijgt `53248`.

 

Ga zelf na dat deze procedure klopt. Misschien bedenk je ook wel hoe een deling zou moeten gaan...

Een belangrijk voordeel van het tientallig stelsel was wel dat je niet steeds nieuwe symbolen nodig had voor grotere getallen. Dat gebruikte Al-Khwarizmi bijvoorbeeld voor het beroemde schaakbordprobleem waarbij je het totaal aantal graankorrels op het schaakbord wilt weten als je op het eerste vakje `1`, op het tweede `2`, op het derde `4`, op het vierde `8`, enzovoorts, graankorrels zou leggen. Hij kon met de Indiase cijfers gemakkelijk vaststellen dat dit aantal `1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^63 = 2^64 - 1 = 18446744073709551615` is.

 

 

 

Transfer naar Europa

Doordat de Arabische wereld zich snel uitbreidde, ontstonden er al in de elfde, twaalfde eeuw contacten met het Middeleeuwse Europa. Na de pijnlijke periode van de "Kruistochten" ontstonden er ook handelscontacten waarbij uiteraard moest worden gerekend. En zo kwam het tientallig stelsel naar Europa. Maar daar zat men nog behoorlijk vastgebakken aan de Romeinse cijfers en het werken met de "abacus" ("telraam") of met steentjes ("calculi").

 

De Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa (genaamd "Fibonacci", 1170 - 1250) bepleitte echter de invoering van het tientallig stelsel en de Indiase cijfers in zijn boek "Liber Abaci". In de herziene editie werd een groot aantal opgeloste problemen toegevoegd die bedoeld waren voor handelaren. Het gaat daarbij op problemen die te maken hebben met de prijzen van goederen, het berekenen van winst, het omrekenen van munteenheden, en dergelijke.
Hiernaast zie je een afbeelding uit die boek waarin de cijfers die hij gebruikt zijn te zien.

Belangrijk is wel op te merken dat met name het ontstaan van de boekdrukkunst in deze periode (in West-Europa omstreeks 1450 door Johannes Gutenberg) enorm bijdroeg aan het werken met het tientallig stelsel omdat daardoor eindelijk de cijfers een min of meer vaste vorm kregen.

 

 

 

Tientalligheid in Nederland

In de Nederlanden (de lage landen in de monding van Rijn, Schelde, Maas en IJssel) werd het tientallig stelsel pas in 1585 ingevoerd. Dat kwam door de Vlaamse ingenieur Simon Stevin (1548 - 1620) die veel van zijn tijd in Leiden doorbracht. Hij voerde vooral waterbouwkundige en stedenbouwkundige werken (o.a. fortificaties) uit. Dat kwam in de tijd van de Tachtigjarige oorlog van de Verenigde Nederlanden tegen Spanje goed van pas. Maar bovenal schreef hij leerboeken in de Nederlandse taal, een unicum voor die tijd, want de meeste wetenschappers schreven in het Latijn. Verder beijverde hij zich voor het invoeren van het tientallig stelsel in zijn beroemde boek "De Thiende".