Euler

Leonhard Euler (15 april 1707 - 18 september 1783) was van oorsprong een Zwitser. Nadat hij in 1726 in de wiskunde afstudeerde aan de Universiteit van Basel, werd hij in 1727 benoemd aan de Academie voor Wetenschap in St.Petersburg. Daar volgde hij in 1730 zijn vriend Daniël Bernoulli op als professor in de wiskunde en vestigde hij zijn grote reputatie. Vanaf 1738 verslechterde zijn gezichtsvermogen, naar hij zelf zei: vanwege te grote belasting van de ogen bij de kartografie.
In 1741 werd Euler door Frederik de Grote (koning van Pruisen) naar Berlijn gehaald om een Academie voor Wetenschap te helpen stichten. Hij deed veel werk voor Frederik de Grote en de Pruissische regering. In 1768 keerde Euler terug naar St.Petersburg. Daar werd hij na een ziekte volledig blind, maar zijn wetenschappelijke productiviteit leed er (dank zijn een fenomenaal geheugen) nauwelijks onder. Hij overleed in 1783 aan een hersenbloeding.
Euler was misschien wel de meest productieve wiskundige ooit. In bijna alle takken van de wiskunde heeft hij zijn sporen nagelaten, denk maar aan de formule van Euler uit de meetkunde, het getal e uit de analyse, het Koningsberger bruggenprobleem, etc.

 

» Meer over Euler
» De tijd van Euler
» Euler's werk

De tijd van Euler

Euler leefde te midden van grote wiskundigen als de familie Bernoulli, Goldbach, Hermann en anderen en in de tijd van grote vorsten als tsaar Peter de Grote (tot 1725), Catharina de Grote (vanaf 1762) en koning Fredrik de Grote van Pruissen. Deze wereldleiders uit die tijd besteedden veel tijd en energie aan de ontwikkeling van hun land. Ze gebruikten de middelen die ze ter beschikking hadden om bekende of veelbelovende wetenschappers aan zich te binden en voor ze te laten werken. Euler was als snel én van die beroemdheden en stond in het middelpunt van het academische leven in die tijd.

Euler wordt geboren in een tijd waarin Rusland en de Duitse staten in opkomst zijn. In Rusland streeft tsaar Peter de Grote naar een opbloei van zijn land en een culturele aansluiting bij Frankrijk, Engeland, Italië en de Lage Landen. Hij gebruikt zijn middelen om zijn volk te scholen, o.a. door het stichten van Academies.
Na zijn dood in 1725 wordt dit werk voortgezet door zijn weduwe Catharina I en na 1727 door steeds zwakker opererende keizerinnen (Anna en Elisabeth), maar vooral achter de schermen door prins Golytsin en andere Russische edelen. In 1762 neemt Catharina II de Grote het roer over en zij voert weer een krachtig bewind.

In de jaren na de dood van Peter de Grote loopt de stabiliteit van het moderniseringsprogramma, waarin buitenlanders als Euler een duidelijke rol hadden, gevaar. Mede daarom trekt Euler een tijdlang naar Pruissen waar koning Frederik de Grote probeert zijn land in de vaart der westerse volkeren op te stuwen.

De wiskunde is in landen als Italië, Frankrijk, Engeland en Vlaanderen en de Nederlanden tot grote bloei gekomen. Newton, Leibniz hebben de differentiaalrekening bedacht en het oneindige bespreekbaar gemaakt. Pascal, Fermat, Descartes, Huygens en nog veel andere bekende wiskundigen hebben de getaltheorie, de meetkunde, de algebra nieuwe impulsen gegeven en de kansrekening als wiskundige theorie opgevoerd. Overal wordt de studie van hun geschriften driftig ter hand genomen. En dat leidt tot een grote uitbreiding van de wiskundige activiteit, met name ook in de gebieden die nu de 'moderne' ontwikkelingen willen bijhouden, zoals Rusland en de Duitse Landen.

 

1689 - 1725: Tsaar Peter de Grote.
1762 - 1796: Tsarina Catharina II de Grote.
1740 - 1786: Pruissen wordt geregeerd door Frederik de Grote
1654 - 1705: Jakob Bernoulli
1667 - 1748: Johann Bernoulli
1700 - 1782: Daniël Bernoulli
1690 - 1764: Christian Goldbach

 

 

 

Over Euler

Leonhard Euler werd geboren op 15 april 1707 in het Zwitserse Basel als zoon van Paul Euler, een theoloog aan de Universiteit van Basel en Margarethe Brucker, de dochter van een protestantse dominee. Paul Euler was een studiegenoot van Johann Bernoulli en heeft lessen gevolgd van diens oudere broer Jacob Bernoulli, beiden wiskundigen. Leonhard groeide op in Riehen, vlak buiten Basel en leerde al op jonge leeftijd elementaire wiskunde van zijn vader.

Leonhard ging later naar school in Basel, waar hij bij zijn grootmoeder woonde, maar slechts weinig bijleerde. Zijn interesse voor wiskunde was echter gewekt door de lessen van zijn vader en al jong bekwaamde hij zich zelfstandig in dat vak. Zijn vader wilde dat hij theologie ging studeren en Leonhard werd al op 14-jarige toegelaten tot de Universiteit van Basel waar hij begon aan een soort van algemene opleiding. Johann Bernoulli ontdekte al snel zijn wiskundige begaafdheid en steunde hem bij verdere studie op dit terrein.

In 1723 begon Euler theologie te studeren, maar hij kon daar zijn draai niet in vinden. Zijn vader stemde uiteindelijk toe in het overstappen naar de studie van de wiskunde, waarschijnlijk mede op voorspraak van Johann Bernoulli. In 1726 studeerde Euler af in de wiskunde.
Hij schreef in de jaren 1726 en 1727 (slechts 20 jaar oud!) zijn eerste artikelen over wiskundige onderwerpen. Direct na zijn afstuderen stierf Nicolaus Bernoulli (1695-1726, zoon van Johann B.) die professor in de wiskunde was in St.Petersburg. Euler kreeg het aanbod om de openvallende vacature te vervullen. Hij accepteerde de baan in november 1726, maar wilde niet naar Rusland reizen vóór maart 1727, omdat hij zich enerzijds goed wilde voorbereiden en anderzijds wilde proberen om een baan als professor in de natuurkunde te krijgen aan de Universiteit van Basel (een positie die ook net was vrijgekomen). Hij schreef een beroemd geworden artikel over akoestiek, maar (waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd) kreeg hij die baan niet.

Op 5 april 1727 verhuisde Euler van Basel naar St.Petersburg waar hij aan de Academie voor Wetenschap werd benoemd als professor in de faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen. Deze academie was twee jaar daarvoor gesticht door Catharina I, de vrouw van tsaar Peter de Grote.
Daar was hij omringd door beroemde wiskundigen zoals:
Jakob Hermann, een verre verwant van Euler en een bekend meetkundige;
Daniël Bernoulli (zoon van Johann B.), een persoonlijke vriend van Euler met een gemeenschappelijke interesse voor de toegepaste wiskunde;
Christian Goldbach, waarmee Euler vaak problemen uit de analyse en de getaltheorie besprak.
Als bijverdienste nam Euler dienst als luitenant bij de medische dienst van de Russische marine. Hij woonde in bij Daniël Bernoulli.

In 1730 werd Euler professor in de natuurkunde en daarmee een volwaardig lid van de Academie voor Wetenschap in St.Petersburg. Hij kon toen zijn bijbaan opgeven en zich volledig toeleggen op zijn werk aan de Academie. Toen Daniël Bernoulli in 1733 terugkeerde naar Basel, nam Euler de belangrijkste leerstoel voor de wiskunde van hem over. Daarmee verbeterden zijn financiële omstandigheden zodanig, dat hij kon trouwen met Katharina Gsell, de dochter van een schilder. Samen kregen ze 13 kinderen, waarvan er echter maar vijf volwassen werden. Euler beweerde wel dat hij zijn grootste wiskundige ontdekkingen heeft gedaan met een baby op de arm.

In 1735 kreeg Euler problemen met zijn gezondheid in de vorm van een zware koorts waaraan hij bijna bezweek. Vanaf 1738 ging zijn gezichtsvermogen sterk achteruit vanwege een overmatige belasting van de ogen bij zijn karthografische werk. In 1740 was hij blind aan én oog.
Zijn reputatie op het gebied van de wiskunde was echter groot. Hij won de Grote Prijs van de Parijse Academie in 1738 en in 1740, in beide gevallen echter samen met anderen.

Nadat politieke onrust de positie van buitenlanders in St.Petersburg bemoeilijkte, ging Euler op uitnodiging van Frederik de Grote in 1741 naar Berlijn om mee te helpen bij het opzetten van een Academie voor Wetenschap (ter vervanging van de bestaande instelling). Maar ook in Berlijn bleef Euler werk doen voor de Academie van St.Petersburg.
In 1744 werd de Berlijnse Academie opgericht onder voorzitterschap van Maupertuis en met Euler als leider van de wiskundefaculteit. Hij was tevens plaatsvervanger van Maupertuis bij diens afwezigheid en beiden werden goede vrienden.
Euler deed veel organisatorisch werk voor de Berlijnse Academie. Bovendien belastte de Pruisische koning hem met diverse praktische problemen zoals het aanpassen van het niveau van het Finowkanaal, het organiseren van het hydraulisch systeem van het beroemde park Sans Souci, de zomerresidentie van koning Frederik de Grote. Verder was hij adviseur van de Pruissische regering op het gebied van staatsloterijen, verzekeringen, pensioenen en artillerie.
En ook de omvang van zijn wetenschappelijke werk in die periode was fenomenaal.

In 1759 stierf Maupertuis en Euler werd hoofd van de Berlijnse Academie, hoewel de algemene leiding in handen van de koning kwam. De verhouding tussen Euler en Frederik de Grote verslechterde en Fredrik's voortdurende bemoeizucht met de dagelijkse leiding van de Academie deed Euler besluiten om terug te keren naar St.Petersburg.

In 1766 keerde Euler inderdaad terug naar St.Petersburg waar hij na een ziekte vrijwel geheel blind werd. In 1771 werd zijn huis door brand verwoest en kon hij alleen zichzelf en zijn wiskundige werk redden. Hij werd geopereerd om zijn blindheid te genezen en zijn gezichtsvermogen keerde korte tijd terug. Maar omdat Euler onvoldoende op zichzelf lette, werd hij uiteindelijk volledig blind. Dank zij zijn geweldige geheugen kon hij echter met zijn werk op het gebied van de optica, de algebra en de bewegingen van de maan doorgaan. Hij produceerde bijna de helft van zijn totale werk nadat hij blind was geworden.

Op 18 september 1783 bracht Euler de eerste helft van de dag op de gebruikelijke wijze door: hij gaf wiskundeles aan én van zijn kleinkinderen, maakte een paar berekeningen met een krijtje op een bord en besprak met wat collega's de pas ontdekte planeet Uranus. Om ongeveer 17:00 uur kreeg hij een hersenbloeding en hij stierf om ongeveer 23:00 uur.

Na zijn dood is de Academie van St.Petersburg nog meer dan 50 jaar bezig geweest met het publiceren van nog niet eerder uitgegeven materiaal van Euler.

 

 

 

Euler's werk

Euler's fenomenale werkkracht wordt vooral zichtbaar in een kleine opsomming van zijn activiteiten. Alleen al in de periode in Berlijn schreef hij zo'n 380 artikelen. Hij bemoeide zich met alle aspecten van de wiskunde, met nadruk op getaltheorie als basis voor de analyse van functies, op de studie van het oneindige, van differentiaal- en integraalrekening, van differentiaalvergelijkingen. In feite begint de systematische analyse van functies met Euler's geschriften.
Maar hij hield zich ook bezig met ballistiek (de banen van projectielen), scheepsbouw, de bewegingen van de maan en de planeten, etc.

Deze fenomenale reeks geschriften en activiteiten volbracht hij niet zonder hulp. Zijn zoons Johann Albrecht (professor in de natuurkunde in St.Petersburg) en Christoph hielpen hem, naast andere leden van de Petersburgse Academie zoals Albrecht, Krafft en Lexell en de echtgenoot van zijn kleindochter, de wiskundige Fuss. Dit waren niet alleen maar assistenten, maar mensen die actief meedachten en meehielpen.

 

Euler en analyse

We danken aan Euler de notatie f( x ) voor een functie (1734), e voor grondtal van de natuurlijke logaritme (1727), i voor de wortel uit 1 (1777), π voor pi en het sommatieteken Σ (1755), en nog veel meer.

In 1748 schreef Euler het boek "Introductio in analysin infinitorum", waarin de fundamenten van de analyse van functies systematisch uiteen werden gezet. Daarbij werkte hij ook met complexe getallen.
Hij studeerde verder op de analyse van functies van complexe variabelen (variabelen die complexe getallen zijn) en publiceerde daarover in de volgende jaren.

In 1755 publiceerde Euler zijn "Institutiones calculi differentialis" over differentiaalrekening, in 1770 gevolgd door: "Institutiones calculi integralis" over het integreren. Ook bestudeerde hij verschillende soorten functies.

Daarnaast leidden bepaalde problemen in de mathematische fysica hem tot de studie van differentiaalvergelijkingen, waarbij hij verschillende oplossingsmethoden bedacht (zoals het scheiden der variabelen).

 

Euler en de getaltheorie

Met name onder invloed van Christian Goldbach besteedde Euler tijd aan de getaltheorie. Hij bewees rond 1730 dat het vermoeden van Fermat dat getallen van de vorm 2 n +1 altijd priemgetallen waren ( n een natuurlijk getal) onjuist was. Hij bestudeerde en bewees meer van dergelijke stellingen, vooral ook op het gebied van rijen en reeksen. Hij loste problemen op waar voor hem wiskundigen als de Bernoulli's, Leibniz, Stirling en De Moivre hun tanden op stuk hadden gebeten, zoals een formule voor de som van de rij u n = 1 n 2 .
Hij berekende π tot op 16 decimalen nauwkeurig.
Verder bewees hij de beroemde Laatste Stelling van Fermat voor het geval n=3 .

 

Euler en meetkunde

Eén van de beroemdste regels in de meetkunde (vooral in de meetkunde van vervorming, de topologie) is de formule van Euler over het verband tussen het aantal hoekpunten, het aantal ribben en het aantal grensvlakken van veelvlakken. Bij de verwijzingen vind je 16 bewijzen van deze formule.
In het kader daarvan past ook het beroemde Koningsberger bruggen probleem. Het ging daarbij om het kunnen doorlopen van een bepaalde route over de bruggen over de rivier de Pregel in de stad Koningsbergen, zonder een brug twee keer te passeren. Euler bewees dat dit onmogelijk was. Hiernaast zie je de bij dit probleem horende graaf. Wellicht kun je Euler's bewijs zelf vinden (let op het aantal wegen dat in elk knooppunt bij elkaar komt en vooral of dit even of oneven is).

Verder hield Euler zich bezig met de differentiaalmeetkunde, de meetkunde van gekromde oppervlakken.

 

Euler en mechanica

In 1736 publiceerde Euler zijn "Mechanica", een systematische aanpak van problemen in de mechanica, waarbij de analyse van functies werd toegepast in plaats van de tot dan gebruikelijke meetkundige benadering. Euler schreef daarin over de beweging van een punt zowel in vacuüm als in een bepaald medium. Daarbij moest hij veel werken met differentiaalvergelijkingen.
In 1765 werd dit werk gevolgd door "Theoria motus corporum solidorum", waarin hij de beweging van lichamen (zowel in rechte lijn als in cirkelbeweging) beschreef.
Ook is Euler's werk over de beweging van vloeistoffen opmerkelijk. Hij vond de bekende Euler vergelijkingen voor de beweging van niet-visceuse vloeistoffen.
Tenslotte leverde Euler bijdragen aan het berekenen van de bewegingen van hemellichamen.

 

Andere interessegebieden van Euler

Vanwege Euler's interesse in de toepassingen van de wiskunde hield hij zich ook bezig met de voortstuwing van schepen, met hydrostatica, met de beweging van starre lichamen in vloeistoffen.
Euler publiceerde ook over muziektheorie. In zijn geschrift "Tentamen novae theoriae musicae" uit 1739 probeerde hij de muziek tot een deel van de wiskunde te maken, door vaste wetmatigheden te zoeken op grond waarvan uit welluidende tonen muziek kan worden gemaakt.

Een ander interessegebied was de karthografie. Hij maakte daarmee kennis toen hij tot directeur van de Faculteit de geografie van de Academie van St.Petersburg werd benoemd. Hij had als speciale taak het ontwerpen van een kaart van het hele Russische Rijk, samen met Delisle. Het resultaat was een atlas van Rusland die in 1745 verscheen en uit 20 kaarten bestond. Euler verbleef bij het verschijnen van die atlas in Berlijn en merkte trots op dat de kartografie in die atlas de Pruissische karthografie ver vooruit was.

Veel van Euler's werk is te vinden via het Eulerproject.