Bolyai

De tijd van Bolyai

Bolyai wordt geboren in het koninkrijk Oostenrijk-Hongarije in een tijd waarin de oorlogen tussen Napoleon en Engeland, Pruisen, Oostenrijk-Hongarije en Rusland het gehele Westeuropese landschap beheersten. Napoléon versloeg echter in 1805 Oostenrijk en Rusland in de slag bij Austerlitz en later nogmaals in 1809. Napoléon trouwde daarna met Marie-Louise van Oostenrijk en dwong dit land gebied aan hem af te staan.
Na Napoléon's mislukte veldtocht naar Rusland in 1812 werd hij uiteindelijk in 1814 verslagen. In 1814-1815 werd door het Congres van Wenen door de overwinnaars Engeland, Pruisen, Oostenrijk-Hongarije en Rusland gehouden. Dat betekende het onstaat van de Republiek der Verenigde Nederlanden, het herstel van het gezag van diverse vorstenhuizen. Ook Oostenrijk-Hongarije kreeg zijn deel en Oostenrijk zelf vormde met diverse Duitse staten de Duitse Bond. Het gebied waarin Farkas en János Bolyai leefden (Transsylvanië) behoorde toen bij Oostenrijk-Hongarije.

 

 

 

Over Bolyai

János Bolyai werd in 1802 in het ouderlijk huis van zijn moeder Zsuzsanna Benkö geboren. Maar al snel ging hij naar zijn vader Farkas Bolyai (1775 - 1856) die aan het Calvinistisch College in het toenmalige Marosvásárhely, een stad die nu Târgu Mureș heet en tot 1920 in Transsylvanië in Oostenrijk-Hongarije lag, leraar wiskunde, natuurkunde en scheikunde was. Farkas verdiende een mager salaris, dus János groeide op in armelijke omstandigheden met een nogal "moeilijke" moeder. Hij werd door Farkas zelf op het gebied van de wiskunde geschoold en voor andere onderwerpen door de beste studenten van de school waarop zijn vader werkte. Het bleek dat János een zeer begaafd kind was, dat gemakkelijk allerlei kennis opnam en ook viool leerde spelen en veel aan sportactiviteiten deed. Pas vanaf zijn negende jaar ging hij naar school en vanaf zijn dertiende startte hij in het vierde jaar van het Calvinistisch College in Marosvásárhely.
In 1816 vroeg Farkas Bolyai zijn studievriend Garl Friedrich Gauss om zijn zoon János in huis te nemen en verder op te leiden in de wiskunde, maar Gauss verwierp dat idee.

Toen János in juni 1817 van school kwam, was het onduidelijk hoe hij verder zou studeren. Na veel hoofdbrekens ging hij uiteindelijk naar de Technische Militärakademie in Wenen. Daar werd namelijk relatief veel aandacht aan de wiskunde besteed. In 1818 begon hij daar op het hoogste niveau en in 1822 sloot hij de zevenjarige opleiding af. Hij was behalve een briljante student ook een begaafde sportman en trad in Wenen af en toe op als violist. In 1821 overleed zijn moeder.
Vanaf september 1823 trad hij in militaire dienst bij de genietroepen als onderluitenant. Hij ging werken aan de fortificaties bij Temesvár. Hij werkte 11 jaar als militair ingenieur en werd beschouwd als de beste zwaardvechter en de beste danser van het leger van Oostenrijk-Hongarije. Hij rookte niet en dronk geen alcohol en leerde intussen negen vreemde talen, waaronder Chinees en Tibetaans.
Ook trad hij op het gebied van de wiskunde in de voetsporen van zijn vader die het vijfde axioma van Euclides - het parallellenpostulaat - probeerde af te leiden uit de overige vier. Dat postulaat hield in dat door een punt buiten lijn `l` precies één lijn evenwijdig aan `l` gaat. Meerdere wiskundigen hebben dit axioma proberen te bewijzen vanuit de andere, maar niemand was dit ooit gelukt. En János Bolyai bedacht dat er misschien een consistente meetkunde zou kunnen bestaan zonder dit axioma. Er zouden dan minstens twee lijnen door hetzelfde punt evenwijdig aan `l` kunnen zijn. In 1825 vertelde hij over zijn ontdekking van een geheel nieuwe meetkunde aan zijn vader, maar die was niet erg enthousiast op dat moment.
Maar toen János in 1830 naar een nieuwe post in Lemberg werd gestuurd, bezocht hij eerst zijn vader in Marosvásárhely. Nu kreeg Farkas Bolyai veel meer begrip voor de ideeën van zijn zoon en drong hij erop aan dat János een appendix bij Farkas' boek "Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi" (Een poging om jongeren te interesseren in elementen van pure wiskunde) over zijn gedachten zou schrijven. En dat gebeurde.

Op 20 juni 1830 werd deze appendix gepubliceerd. Farkas Bolyai zond meteen een exemplaar naar zijn vriend Gauss.
Gauss reageerde door te zeggen dat hij dit werk niet kon prijzen zonder zichzelf te prijzen, want dergelijke ideeën zou hij al 30 tot 35 jaar hebben gehad. Het is zeer waarschijnlijk dat dit ook echt zo was, want al in 1824 schreef hij over een door hem bedachte consistente meetkunde waarin de hoeken van een driehoek kleiner dan `180^@` zijn.
János Bolyai raakte door deze reactie echter ernstig teleurgesteld en in combinatie met het verslechteren van zijn gezondheid werd hij een lastig persoon om mee samen te werken. Hij ging na een korte positie als kapitein in Olmütz met pensioen vanuit het leger.

Na een korte periode samen met zijn vader ging hij wonen op het landgoed in Domáld dat hij erfde van zijn grootmoeder van vaderskant. Daar woonde hij vanaf 1834 samen met Rozália Kibédi Orbán. Samen kregen ze twee kinderen, maar zijn pensioen was nauwelijks genoeg voor hun levensonderhoud. Ook was zijn vader niet erg te spreken over deze relatie. Bolyai deed nog wel iets aan het ontwikkelen van wiskundige theorieën, maar dit bleek van weinig betekenis of werd nooit afgemaakt, hoewel het enkele originele gedachten bevatte.
In 1846 verhuisde Bolyai naar Marosvásárhely om dichter bij zijn vader te zijn, maar de verhouding tussen hen verslechterde daardoor nog meer. Ook ontdekte hij daar in 1848 dat Nicolaj Lobachevsky (1792 - 1856) al in 1829 een artikel over een niet-euklidische meetkunde had gepubliceerd. Hij schreef een gefrustreerde reactie op Lobachevsky's werk, maar erkende ook dat de ideeën van zijn rivaal uitstekend waren.
In 1849 trouwde hij met Rozália, maar in 1852 verliet hij haar alweer. De relatie met zijn vader verbeterde daardoor, maar - zeker ook na de dood van Farkas Bolyai in 1856 - hij gaf het werken aan wiskundetheorieën op. In plaats daarvan probeerde hij een theorie over alle kennis te ontwikkelen, met name ook op het gebied van linguïstiek en sociologie.
János Bolya overleed in 1860.

 

 

 

Over niet-euklidische meetkunde

De naam Bolyai is verbonden aan de niet-euklidische meetkunde.

Euklides ging bij zijn meetkunde uit van een aantal postulaten (axioma's). De meeste daarvan zijn eenvoudig, maar het vijfde vormt een uitzondering. Het parallellenpostulaat heeft diverse vormen, maar de bekendste is waarschijnlijk (in vereenvoudigde vorm) "Gegeven een rechte `l` en een punt `P` dat niet op `l` ligt, dan is er in het vlak door `l` en `P` maar één rechte door `P` die `l` niet snijdt."

Lange tijd is geprobeerd het parallellenpostulaat te bewijzen uit de andere axioma's, maar achteraf bleken alle bewijzen fout, doordat er ergens toch iets was gebruikt dat niet uit de overblijvende axioma's volgt.

In de niet-euklidische geldt dit parallellenpostulaat zo niet. Er zijn twee varianten:

• In de elliptische meetkunde gaat er door `P` geen lijn die `l` niet snijdt: alle lijnen snijden elkaar.
• In de hyperbolische meetkunde gaan er door `P` oneindig veel lijnen die `l` niet snijden.

Overigens is het voor elliptische meetkunde nodig ook andere postulaten van Euclides aan te passen.

Een paar karakteristieke eigenschappen zie je in deze figuren.

In de elliptische meetkunde is:

• een lijnstuk een deel van een grootcirkel op de bol;
• er door een punt buiten lijn `l` geen lijn evenwijdig met `l`;
• de omtrek `C` van een cirkel met diameter `1` kleiner dan `pi`;
• is de hoekensom `Sigma` van een driehoek groter dan `180^@`.

In de hyperbolische meetkunde is (zijn):

• een lijnstuk een deel van een lijn op het zadeloppervlak;
• er door een punt buiten lijn `l` oneindig veel lijnen evenwijdig met `l` te trekken;
• de omtrek `C` van een cirkel met diameter `1` groter dan `pi`;
• is de hoekensom `Sigma` van een driehoek kleiner dan `180^@`.

 

 

 

---

Math4all