Bhaskara

Bhaskara (1114 – ca. 1185) was een Indiase wiskundige. Naar men zegt gebeurt er in de tijd van 1000 tot 1500 in de Hindu-wiskunde niet zoveel. Van slechts enkele wetenschappers uit die tijd is bekend dat zij zich met wiskunde bezighielden. Eén van de besten daarvan was Bhaskara die geboren is in Vijayapura, maar in Ujjan werkte en overleed. Zijn vader was een Brahmaan en een bekende astroloog. Hij werd zelf hoofd van het centrum voor astronomie in Ujjan. Hij baseerde zich bij zijn werk vooral op datgene dat Brahmagupta en Sridhara hadden gedaan. Hij heeft daar veel aan toegevoegd. In allerlei geschriften werd hij zeer geëerd en hij had dan ook de koosnaam Bhaskaracharya, wat zoveel betekende als "Bhaskara, de geleerde of de leraar". In het bijzonder op het gebied van de getaltheorie en het oplossen van vergelijkingen bereikte hij een niveau dat in Europa in die tijd lang niet werd gehaald.

Hij heeft zich echter niet alleen op het gebied van de wiskunde bewogen, maar was breed ontwikkeld en deed werk onder meer op het gebied van de rekenkunde, de oppervlakte- en inhoudsbepalingen, astronomie en schreef, voor zover bekend, 6 boeken over die onderwerpen.

Hij werd dermate beroemd dat zijn boeken vele malen werden gekopieerd tot in het begin van de negentiende eeuw. Een middeleeuwse inscriptie op een tempel geeft (vertaald) het volgende beeld van hem "(...) Hij lijkt op de pronkstaart van de pauw (...)"

Een tijd lang heerste er het idee dat na Bhaskaracharya de wiskundige ontwikkeling in India wel een beetje tot stilstand kwam. Uit latere meer recent ontdekte geschriften blijkt dat dit waarschijnlijk toch niet zo is geweest.

 

» Wiskunde in de latere Indiase beschaving
» Bhaskara's werk

Wiskunde in de latere Indiase beschaving

De belangrijkste Indiase wiskundigen uit de tiende eeuw waren Aryabhata II en Vijayanandi, die beiden de sinustabellen en de trigonometrie (driehoeksmeetkunde) verder ontwikkelden in het belang van hun astronomische berekeningen. De belangrijkste wiskundige uit de elfde en de twaalfde eeuw was wel Bhaskara II. Hij werkte aan algebra, getallenstelsels en astronomie. Hij schreef mooie teksten en gaf de beste samenvatting van de wiskunde en de astronomie uit deze periode.

Na Bhaskara II was het in India zo'n 200 jaar stil op het gebied van de wiskunde. Pas in de tweede helft van de veertiende eeuw schreef Mahendra Suri de eerste Indische verhandeling over de astrolabe en schreef Narayana een belangrijk commentaar op het werk van Bhaskara II, waarbij hij een bijdrage leverde aan de algebra en het begrip van de tovervierkanten. De belangrijkste bijdrage uit die tijd was echter van Madhava die reeksontwikkelingen van functies (nu "Taylorreeksen" genoemd) introduceerde. Madhava kwam uit Kerala en zijn werk inspireerde een school van navolgers zoals Nilakantha en Jyesthadeva.

 

 

 

Bhaskara's werk

Op het gebied van de rekenkunde en de wiskunde is met name Bhaskara's boek "Lilavati" van groot belang. De titel is naar men zegt ontleend aan zijn dochter en betekent "de schone". Er hangt een hele legende om die dochter heen, waarvan het de vraag is of het waar is. Maar het verhaal gaat dat aan Bhaskara voorspeld was dat zijn dochter niet zou trouwen of snel weduwe zou worden, tenzij het huwelijk op een bepaalde tijd zou plaatsvinden. Bhaskara wilde dat uiteraard voorkomen en probeerde die tijd exact te bepalen door een beker met een gat in de bodem in een vat met water te leggen zodat de beker volliep en wel zo dat hij zou zinken op die voor het huwelijk bepaalde tijd. Zijn dochter was echter dermate nieuwsgierig dat zij zich diep over het vat boog en daarbij een parel uit haar sieraad verloor die het gat in de bodem dichtte. Daardoor vond het huwelijk niet of op de verkeerde tijd plaats en was ze snel weduwe. Bhaskara heeft zijn dochter toen een boek beloofd om haar te troosten waarvan hij zei dat het eeuwigheidswaarde zou hebben zodat zij tot in het einde der dagen zou voortleven. Dat was "Lilavati".

Andere werken van Bhaskara zijn onder meer de "Bijaganita", wat over algebra ging, met name over het oplossen van eenvoudige kwadratische en derdegraadsvergelijkingen, en de "Siddhantasiromani", waarvan een deel over de wiskunde van de sterren ging, maar waarin ook veel resultaten van de driehoeksmeting in voorkwamen.

De Lilavati is het meest bekend en daarin gaat het om onderwerpen die in die tijd heel populair waren: lineaire en kwadratische vergelijkingen, bepaald en onbepaald, eenvoudige oppervlakte- en inhoudsberekeningen, rekenkundige en meetkundige vorderingen, irrationale getallen, Pythagoreïsche drietallen, en andere.

Kortom, het werk van Bhaskara is zeer rijk en veelzijdig en laat de geweldige opbrengst zien van vijfhonderd jaar wiskundige vooruitgang. Enkele van de vraagstukken waar Bhaskara mee bezig is geweest zijn:

 

Het "gebroken-bamboe"-probleem

Zo vind je in de "Lilavati" het "gebroken bamboe"-probleem, dat ook bij Brahmagupta opduikt, nu in de volgende vorm

Als een bamboestengel `32` el hoog is en zo wordt gebroken door de wind dat het topje op de grond komt op `16` el van de stengel, op welke hoogte boven de grond is die stengel dan gebroken?

[Antwoord: `12` el]

Dit probleem is op te lossen met een kwadratische vergelijking die gebruik maakt van de stelling van Pythagoras, waarvoor Bhaskara ook een bewijs gaf. Het is een voorbeeld van problemen van de vorm
Gegeven `a` en `b+c`, bereken dan `b`.
Bhaskara's oplossing: Neem het kwadraat van afstand van de bamboe tot het punt waar de top de grond raakt en deel dat door de lengte van de bamboe, trek het resultaat af van de lengte van de bamboe en halveer de uitkomst.
Uitgedrukt in de benoemde`a`, `b` en `c` in de figuur hiernaast wordt de oplossing dus:
`b = 1/2 * ((b + c) - (a^2)/(b+c))`.

 

De "regula falsi" of "de regel van de verkeerde aanname"

Het oplossen van min of meer eenvoudige vergelijkingen bereikte in die tijd een hoog niveau. Van de technieken die daarbij gebruikt werden waren is niet altijd duidelijk of ze al eerder bekend waren.
In die tijd was "de regel van de verkeerde aanname" een veel beoefende techniek om eenvoudige lineaire problemen op te lossen. Het gaat daarbij om het stellen van een oplossing, vervolgens te kijken hoe die afwijkt en dan de oplossing te corrigeren.
Het eenvoudigst is dit met een voorbeeld te illustreren.
Bijvoorbeeld: "Vind de oplossing van `3x = 6`."
Neem je voor de (verkeerde) waarde `x' = 1` dan komt er links van het is-gelijk-teken `3` uit.
Je moet nu `x'` vermenigvuldigen met `6/3` om de goede waarde van `x` te krijgen.

Bhaskara kon dit ook met een probleem dat er zo uitzag:

Wat is het getal dat, als je het vermenigvuldigt met `5`, daar het derde deel van het product vanaf trekt, de rest deelt door `10`, daarna een kwart en de helft van het oorspronkelijke getal bij optelt, `2` minder dan `70` is?

In wiskundetaal ziet dat er zo uit: `(5x - 1/3 * 5x)/10 + 1/3 x + 1/2 x + 1/4 x = 70 - 2`.

Dit soort problemen was ook al eerder bij de Egyptenaren aan de orde, maar Bhaskara vond nieuwe technieken. Zo gebruikte hij niet alleen maar stambreuken, zoals de Egyptenaren. Bovendien rekende hij niet uitsluitend met gehele getallen.
Bij de oplossing van dit probleem bijvoorbeeld nam hij op de "valse positie" het getal `3` en kwam voor de linkerkant van de vergelijking uit op `17/4`. Vervolgens kwam hij tot de volgende uiteindelijke oplossing: `x = (3 * 68)/(17/4) = 48`.

 

Een interessant probleem uit de Bijaganita

In de "Bijaganita" van Bhaskara komt het volgende probleem voor:

In een bos maken een aantal apen dat gelijk is aan het kwadraat van `1/8` van het totaal aantal apen een ongelofelijke herrie. De overige `12` apen, die wat serieuzer zijn, zijn bij elkaar gekropen op een heuvel en irriteren zich aan de lawaaierige geluiden die uit het bos komen Wat is het totaal aantal apen?

Het is interessant omdat Bhaskara hier eigenlijk voor het eerst meer dan één oplossing toelaat van een dergelijk probleem. De oplossingen `x = 16` en `x = 48` zijn beide toelaatbaar volgens Bhaskara.

 

De onbepaalde vergelijking

Vergelijkingen waarbij meerdere oplossingen of paren oplossingen zijn hebben in de wiskunde in alle beschavingen, met name ook in China en India, de aandacht gehad.
Ook Bhaskara heeft zich met deze vorm van vergelijkingen beziggehouden. Het gaat om vergelijkingen van de vorm
`by = ax +- c`
waarbij `a`, `b` en `c` gehele getallen zijn en `x` en `y` de onbekenden. Het is een type vergelijking dat, zoals ook in China, opduikt op het gebied van de astronomie waar het gaat om het bepalen van de banen van de planeten.
Het gaat daarbij om het vinden van een geheeltallige positieve oplossing.
Dergelijke vergelijkingen worden in die tijd veelal opgelost via de methode van de "kuttaka".
De "kuttaka" (het woord betekent zoveel als "verpulveren") is een methode waarbij de coëfficiënten `a` en `b` steeds kleiner gemaakt worden. Bhaskara heeft deze methode verfijnd.

 

Vergelijkingen met meerdere oplossingen

Ook heeft hij werk verzet dat pas vele jaren later terugkomt in het werk van Langrange bij zijn oplossingen van de Pell-(Fermat-)vergelijkingen die deze vorm hebben: `ay^2 + R = x^2`.
Het komt neer op de techniek om van een vergelijking van dit type nieuwe oplossingen te vinden uitgaande van een oplossing van én van die vergelijkingen. Daarbij maakt Bhaskara gebruik van een resultaat van Brahmagupta:
Stel `x`, `y` en `x'`, `y'` zijn zo gekozen dat `ay^2 + R = x^2` en `a(y')^2 + R = (x')^2`, dan geldt dat: `p = xy' + x'y` en `q = ayy' + xx'` voldoen aan de betrekking: `ap^2 + R R' = q^2`.
Daarmee open je de weg naar nieuwe oplossingen van vergelijkingen van dit type.

Zo gaf Bhaskara de oplossing `x = 226153980` en `y = 1766319049` voor de vergelijking
`61x^2 + 1 = y^2`.

Fermat gaf het vinden van deze oplossingen in 1657 als probleem op aan zijn vriend Frénicle de Bessy. Het probleem is uiteindelijk opgelost door Langrange, ongeveer honderd jaar later. De methode die Bhaskara gebruikte om het probleem op te lossen was zeer fraai en eenvoudig.

 

De nul

Brahmagupta had zich al beziggehouden met uitbreidingen van de positieve getallen. Bhaskara baseerde zich op dat werk en was bekend met de nul en de negatieve getallen. Hij voerde zelfs tekens voor positieve en negatieve getallen in. De negatieve getallen gaf hij aan met een punt er boven. Hij deed ook (in de "Bijaganita") uitspraken met betrekking tot de nul en de bewerkingen daarmee. Zo zei hij onder meer:
"Een hoeveelheid die gedeeld wordt door nul wordt een breuk waarvan de noemer nul is. In deze hoeveelheid die nul heeft als deler zal niets veranderen, hoewel er veel bij gedaan kan worden of afgehaald. Net als er geen verandering plaats vindt in de oneindige en onveranderlijke God als werelden worden geschapen of vernietigd (..)"
Dus probeerde Bhaskara het probleem op te lossen door `n/0 = oo` te schrijven. Dat lijkt wel aardig, maar is natuurlijk onjuist omdat op deze manier `0 * oo` gelijk zou kunnen zijn aan elke `n` en dat zou betekenen dat alle getallen gelijk zouden zijn. De Indiërs kwamen niet zo ver dat ze konden afspreken en er vrede mee hebben dat je niet door `0` kunt delen.

 

Een bewijs van de stelling van Pythagoras

Het bewijs van Bhaskara voor de stelling van Pythagoras gaat als volgt:



Begin met een driehoek `ABC` en plaats die nog driemaal op de rechthoekszijden. Dan ontstaat (zie figuur) een 'vierkant met een gat (klein vierkantje) in het midden'. De vier driehoeken samen met het kleine vierkantje vullen het grote op.
En dus geldt: `c^2 = 4 * 1/2 * ab + (a - b)^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2`.

Dit bewijs was overigens in een ongeveer gelijke vorm al bekend bij de Chinezen, zoals je in de rechter figuur kunt zien.

 

Een algoritme voor vermenigvuldigen

In die tijd zie je veel algoritmen (rekenmethoden) ontstaan die voortbouwen op de algebra van de Babyloniërs en hun opvolgers. Bij Bhaskara zien we echter wel pogingen de werkwijzen bij die algoritmen te verklaren.

Om bijvoorbeeld `247` te vermenigvuldigen met `362` ging Bhaskara als volgt te werk.

Eerst werd `247` vermenigvuldigd met de 2 eenheden:

247
3 6 2 ×
----------
414
80 +
----------
494

Je ziet dat Bhaskara eigenlijk `247` leest als `207 + 40` en dit met `2` vermenigvuldigt. Hij hoeft dan geen eenheden te "onthouden" om bij de tientallen te doen.

Daarna vermenigvuldigt hij `247` op dezelfde manier met de 6 tientallen:

247
3 6 2 ×
----------
1242
240 +
-----------
1482

En nu vermenigvuldigt hij `247` nog met de 3 honderdtallen:


247
3 6 2 ×
----------
621
120 +
----------
741

Nog even de resultaten optellen: `247 xx 362 = 494 + 14820 + 74100 = 89414`.