Hier zie je een deel van de grafiek van `f(x)=x^2`.
`Delta x` is de toename van de waarde van `x`, de differentie van twee `x`-waarden waarvan hier de linker een vaste waarde heeft: `x=4`. De bijbehorende toename (of afname) van de functiewaarden is dan
`Delta y = f(x+Delta x) - f(x) = `helling koorde`* Delta x`.
Als `Delta x rarr 0`, dan spreek je niet meer van een differentie, maar van een differentiaal en je schrijft `text(d)x` en `text(d)y`.
Omdat `Delta y = `helling koorde`* Delta x` geldt als `Delta x rarr 0`: `text(d) y = f'(x)*text(d)x` want de helling van de koorde wordt dan de helling van de raaklijn en die is de afgeleide `f'(x)=2x`.
Voor `x=4` is dan `text(d) y = f'(4)*text(d)x`, de totale differentiaal voor `x=4`.
Dit kun je gebruiken om voor waarden dicht bij `x=4` de functiewaarde te benaderen: `f(4,01) ~~ f(4) + f'(4)*text(d)x = 16 + 8*0,01 = 16,08`. (Dat is inderdaad ongeveer `f(4,01) = 16,0801`.) Dit is vooral bruikbaar bij lastige functievoorschriften en bij functies van meerdere variabelen.
Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden.
Sir Isaac Newton (1643 - 31 maart 1727) was een Engelse natuurkundige, wiskundige, astronoom, natuurfilosoof, alchemist en theoloog.
Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1646 - 1716) was een veelzijdig Duits wiskundige, filosoof, natuurkundige, historicus, rechtsgeleerde en diplomaat. Hij ontwikkelde min of meer gelijktijdig met (maar onafhankelijk van) Isaac Newton de tak van de wiskunde die bekend staat als de "analyse". Van hem komt de notatie met differentialen: `(text(d)y)/(text(d)x)` voor `f'(x)`.
Kernwoorden op deze pagina: