Complexe getallen

Waar gaat het over?

Met de reële getallen lijkt alles mogelijk. Toch kan een eenvoudige vergelijking als `x^2 = text(-)1` er niet mee worden opgelost. De wortel uit een negatief getal levert geen reëel getal op.
En dus zijn er nieuwe getallen bedacht: de oplossing van `x^2 = text(-)1` is `x = text(i) vv x = text(-i)`.
Het getal `text(i)` is een imaginair getal. Maar je kunt er getallen van de vorm `z=x+text(i)y` mee maken, waarin `x` en `y` reële getallen zijn. Het getal `z` heet een complex getal.

Hoe werkt het?

Complexe getallen hebben de vorm `z=x+text(i)y` en worden aangegeven door een vector in het `xy`-vlak. `x = text(Re)(z)` is het reële deel en `y = text(Im)(z)` het imaginaire deel.
Met complexe getallen kun je rekenen zoals met reële getallen, zolang je maar oplet dat `text(i)^2 = text(-)1`.
Optellen en aftrekken gaat eenvoudig door de reële en imaginaire delen afzonderlijk samen te nemen. Vermenigvuldigen gaat bijvoorbeeld zo: `(2+3text(i))(4-2text(i)) = 8-4text(i)+12text(i)-6text(i)^2 = 14 + 8text(i)`.
Bij het delen vermenigvuldig je teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer.

Wie en wanneer?

Aan het begin van de zestiende eeuw ontdekten Italiaanse wiskundigen als Scipione del Ferro en Niccolo Tartaglia oplossingen voor derdegraads vergelijkingen. Daarbij kwamen wortels uit negatieve getallen voor, net als eerder af en toe bij de kwadratische (tweedegraads) vergelijkingen.
Rafaël Bombelli bedacht toen het principe van de imaginaire en de complexe getallen om met dergelijke oplossingen te kunnen rekenen.

Latere wiskundigen bewezen dat veeltermvergelijkingen van de vorm `a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0 = 0` precies `n` oplossingen hebben. Dit is de hoofdstelling van de algebra.