Binomium van Newton

#61

Waar gaat het over?

 

Het binomium van Newton luidt

`(a + b)^n = ((n),(0)) * a^n + ((n),(1)) * a^(n-1)*b + ((n),(2)) * a^(n-2) * b^2 + ((n),(3)) * a^(n-3) * b^3 + ... + ((n),(n-1)) * a * b^(n-1) + ((n),(n)) * b^n`

Het is dus een manier om `(a + b)^n` uit te werken. De binomiaalcoëfficiënten zien er uit als `((n),(k))` en er geldt `((n),(k)) = (n!)/(k! * (n-k)!)`. Dit is het aantal combinaties van `k` elementen uit `n` elementen.

 

Hoe werkt het?

 

Stel je wilt `(a + b)^7` berekenen.
Je kunt dan de driehoek van Pascal gebruiken om de gewenste binomiaalcoëfficiënten uit te rekenen. Daarmee vind je

`(a + b)^7 = a^7 + 7a^6 b + 21 a^5 b^2 + 35 a^4 b^3 + 35 a^3 b^4 + 21 a^2 b^5 + 7 ab^5 + b^7`

Dat dit zo werkt komt omdat een term als `a^4 b^3` bestaat uit alle combinaties die je kunt maken met `4` keer een `a` en `3` keer een `b`.

Wie en wanneer?

 

Het binomium werd in de 17e eeuw Isaac Newton (1643 - 1727), een Engelse natuurkundige, wiskundige, astronoom, natuurfilosoof, alchemist en theoloog, bedacht.
Hij had het nodig voor zijn differentiaalrekening, namelijk om de afgeleide te bepalen van de machtsfunctie `f(x) = x^n` met `n` een natuurlijk getal. Het differentiaalquotiënt

`f'(x) = lim_(h rarr 0) ((x+h)^n - x^n)/h`

dat daarbij moet worden uitgerekend bevat de uitdrukking `(x + h)^n` en daarin moest Newton de haakjes wegwerken.

Mooi is het verband met de driehoek van Pascal.

Kernwoorden op deze pagina:

  • combinaties
  • afgeleide