Rationale getallen

Getallen zijn ontstaan door de behoefte om te tellen.
Eeuwenlang waren er dan ook geen andere dan 1,2,3,4,5,...
Wel werd er met verhoudingen van (natuurlijke) getallen gewerkt. En omdat niet alle delingen "uit" kwamen, m.a.w. weer een natuurlijk getal opleverden, werden breuken onvermijdelijk een nieuwe soort getallen.

 

Inhoud:

 

Delingen die niet uitkomen

Bij het delen werd natuurlijk meteen ontdekt dat het niet altijd paste: `832 // 64 = 13` omdat `64` precies `13` keer in de `832` past. Maar bijvoorbeeld `834 // 64` komt niet zo mooi uit want `64` past niet precies in `834`.

 

In de Oudheid ging het dan gewoon niet en schreef men de getallen als verhouding, als breuk:
`834 // 64` ging `13` keer met rest `2`, dus `834 // 64` was `13` en nog `2 // 64`.
Tegenwoordig schrijf je:

 

`834 / 64 = 13 + 2/64 = 13 + 1/32 = 13 1/32`

 

Want `2 // 64` is dezelfde verhouding als `1 // 32`.

 

Na verloop van tijd werden breuken als gewone getallen beschouwd waarmee je kunt rekenen.
Alle getallen die je als breuk kunt schrijven worden rationale getallen genoemd. De gehele getallen horen daar dus ook bij want die zijn als breuk te schrijven: `2 = 2/1`.

 


 

 

 

De decimale komma

Een andere manier om te kijken naar delingen die niet uitkomen is het uitbreiden van het tientallig stelsel. Er worden tienden, honderdsten, duizendsten, etc., ingevoerd om te kunnen tellen in delen van eenheden. In een getal als `2,5428` stellen de cijfers achter de komma (decimalen) deze tienden, hondersten, etc., voor:

 

`2` eenheden `= 2 * 1 = 2 * 10^0`
decimale komma
`5` tienden `= 5 * 0,1 = 5 * 10^(-1)`
`4` honderdsten `= 4 * 0,01 = 4 * 10^(-2)`
`2` duizendsten `= 2 * 0,001 = 2 * 10^(-3)`
`8` tienduizendsten `= 8 * 0,0001 = 8 * 10^(-4)`

 

Hiernaast kun je zien dat `834 / 64 = 13,03125`.
Op deze manier is een deling (en dus een breuk) als decimaal getal te schrijven.

Maar er ontstaat wel een merkwaardige situatie:
er blijken delingen te zijn die nog steeds nooit op `0` uitkomen!
Bij een deling zijn er twee mogelijkheden: hij komt op een eindig aantal decimalen uit of de decimalen gaan zich na verloop van tijd herhalen. (Hoe zou dat komen; kun je dat bewijzen?)
En zo ontstaat een nieuw fenomeen: getallen waarvan de decimale schrijfwijze niet eindigt! Een paar eenvoudige voorbeelden:

`1/3 = 0,3333333333333333333333333333333333...`
`1/6 = 0,1666666666666666666666666666666666...`
`1/7 = 0,1428571428571428571428571428571428...`

Later meer over deze getallen...

 

 

 

Naamgeving grote en kleine getallen

Bij de naamgeving van getallen worden woorden als honderd, duizend, miljoen, miljard, maar ook miljoenste, miljardste, enzovoorts, gebruikt. Deze lijst geeft hun betekenis en de afkortingen die er bij worden gebruikt:

naam factor voorvoegsel symbool
triljoen 1018 Exa E
biljard 1015 Peta P
biljoen 1012 Tera T
miljard 109 Giga G
miljoen 106 Mega M
duizend 1000 = 103 kilo k
honderd 100 = 102 hecto h
tien 10 deca da
eenheid 1

tiende 0,1 = 10–1 deci d
honderdste 0,01 = 10–2 centi c
duizendste 0,001 = 10–3 milli m
miljoenste 10–6 micro m
miljardste 10–9 nano n
biljoenste 10–12 pico p
biljardste 10–15 femto f
triljoenste 10–18 atto a

Het grootste getal dat een naam heeft gekregen is "googol": 1 googol = 10100.

 

 

 

De wetenschappelijke notatie

Voor getallen die vanwege hun grootte met veel nullen worden geschreven gebruik je de wetenschappelijke notatie. Daarbij werk je met machten van tien:

  • `125.300.000.000 = 1,253 * 100.000.000.000 = 1,523 * 10^11`
  • `0,000.000.0479 = 4,79 * 0,000.000.01 = 4,79 * 10(-8)`
Altijd wordt het getal geschreven in de vorm `a * 10^p`, waarin `1 le a lt 10` is.