Een bewijs voor de abc-formule

Een praktische opdracht voor HAVO/VWO, leerjaar 3 en hoger

Bronnen:	Kijk vooral goed op de math4all-site bij 5000 jaar Wiskunde »Wiskundigen » Al Khwarizmi Zoeken op het internet (Trefwoorden: abc-formule, wortelformule, oplossen kwadratische vergelijkingen)
Theorie:	Algebra: Het oplossen van kwadratische vergelijkingen en de abc-formule.
Resultaat:	Leesbare uitwerking gemaakt in een tekstverwerker Titelblad downloaden
Studielast:	ongeveer 10 uur

Een vergelijking zoals `x^2 + 5x = 6` kun je wel oplossen (op `0` herleiden en dan in factoren ontbinden), anders zoek je nog maar even op hoe dat gaat. Moeilijker is een vergelijking zoals `x^2 + 5x = 7`, want die is niet op te lossen door ontbinden in factoren. Hoewel... je kent de abc-formule toch? Zoek hem maar even op.
Deze formule geeft de oplossingen van alle kwadratische vergelijkingen. Je moet ze dan eerst schrijven als `ax^2 + bx + c = 0`, maar dat is geen probleem...?

Wiskundigen hebben eeuwen geleden al ontdekt hoe kwadratische vergelijkingen konden opgelost. Bij het artikel over Al Khwarizmi op de math4all-site tref je een animatie aan van de methode die hij gebruikte. Op dezelfde manier kun je de de abc-formule zelf afleiden. En dat is de bedoeling van deze opdracht.

Uitwerking:

• Neem het stuk op deze site over Al Khwarizmi door. Bekijk de daarin getoonde animatie van het berekenen van de oplossing van een kwadratische vergelijking. Leg duidelijk uit wat er gebeurt.
• Geef nu zelf met behulp van dergelijke rechthoekjes en vierkantjes een oplossing voor de vergelijking `x^2 + px = text(-)q`. Leg uit welke oplossingen de vergelijking `x^2 + px + q = 0` dus heeft.
• Maak nu de afleiding van de abc-formule compleet.
• Maak van dit alles een leesbare uitwerking. Gebruik de bijgevoegde indeling die je hierboven kunt downloaden. Het blad waarop die indeling staat wordt het titelblad. Schrijf in je inleiding ook iets over de historische achtergronden. Kijk eventueel bij het overzicht van de geschiedenis van de algebra op deze site.

Math4all