Discrete dynamische modellen

Formules kun je in de wiskunde gebruiken als model voor diverse situaties. Sommige van die modellen beschrijven hoe bepaalde variabelen in bepaalde vaste tijdstappen veranderen. Dan spreek je van een discreet dynamisch model. Zo'n model kun je daarna doorrekenen met behulp van Excel. Dat doe je met de werkmappen "Model Groei", "Model Logistische groei", "Model Afkoelen" en/of "Model Harmonische trilling". Die kun je met de rechtermuisknop downloaden als je in de onderstaande tekst er aan toe bent. Je moet al behoorlijk met Excel kunnen werken.

 

Inhoud:

 

Het exponentiële groeimodel

Je hebt al regelmatig gewerkt met formules voor exponentiële groei. Een cultuur bacteriën groeit exponentieel als de snelheid waarmee het aantal `N` groeit recht evenredig is met het aantal zelf. Dit betekent:
Als de tijd met een stapgrootte van `1` toeneemt van `t` naar `t+1`, dan neemt `N` toe met:

 

`text(d)N = N(t+1) - N(t) = c*N(t)`

 

Hierin is `c` een constante en stelt `text(d)N` de verandering van `N` voor. (In Excel is het handiger om `text(d)N` en `text(d)t` te gebruiken in plaats van `Delta N` en `Delta t`, omdat het "Delta"-symbool niet goed te maken is in Excel.)

In het algemeen hoeft de stapgrootte niet `1` te zijn. Als je de stapgrootte voorstelt door `text(d)t`, dan is:

 

`text(d)N = N(t + text(d)t) - N(t) = c*N(t)*text(d)t`

 

De grootte van de constante hangt af van de omstandigheden waaronder die cultuur bacteriën leeft. Door metingen kun je die constante bepalen. Excel kan namelijk voor verschillende waarden van c snel het model doorrekenen en die rekenresultaten kun je dan vergelijken met je meetwaarden.

 

Open nu (met de rechtermuisknop kun je downloaden en door te kiezen 'doel opslaan als...' opslaan onder een eigen naam) de werkmap

 

  Model Groei

 

Je ziet daarin hoe het hiervoor beschreven groeimodel is vertaald in een werkblad in Excel. De bovenste 6 rijen worden gebruikt voor informatie over het model. Er staat weergegeven welke variabelen een rol spelen, welke waarden deze variabelen aan het begin (`t = 0`) krijgen en de modelformules zijn weergegeven. Het:

 

`N(t + text(d)t) = N(t) + c*N(t)*text(d)t`

 

wordt weergegeven door `N := N + c*N*text(d)t`.
Dat betekent in woorden: "de nieuwe waarde van `N` wordt de oude waarde van `N` plus `c*N*text(d)t`".
De modelformules ` t := t + text(d)t` en `N := N + c*N*text(d)t` worden gebruikt om de tabel met resultaten te berekenen. Dat is te zien door te klikken op de cellen A10 en A11 en B10 en B11:

  • In A10 staat als Excel formule: =$D$3, hetgeen betekent dat deze cel de waarde van cel D3 krijgt, dat is de startwaarde voor de tijd.
  • In A11 staat: =A10+$D$4, hetgeen betekent dat A11 de waarde van de cel erboven krijgt plus de stapgrootte (t  := t + dt). Deze formule is daarna gekopieerd naar een flink aantal volgende cellen onder A11, zodat je een mooie tabel krijgt. Omdat A10 geen dollartekens heeft, wordt bij het kopiëren steeds de celwaarde automatisch aangepast. Bijvoorbeeld in A14 komt: =A13+$D$4. Door de dollartekens verandert de verwijzing naar cel D4 niet.
  • In B10 staat: =$D$5, dus cel B10 krijgt de startwaarde die in cel D5 staat.
  • In B11 staat: =B10+$D$6*B10*$D$4, de vertaling van N := N + c*N*dt. Let ook nu op de plaatsing van de dollartekens. Deze laatste formule wordt dan gekopieerd naar alle volgende cellen onder B11 (net zoveel als in de tijdtabel).

 

Je hebt nu een voorbeeld voor je neus van de vertaling van het exponentiële groeimodel naar een Excel-werkblad. Door de startwaarden te veranderen, kun je de tabel en de grafiek door Excel laten aanpassen.

  • Experimenteer even met het groeimodel door de startwaarden te veranderen. Kijk wat er met de grafiek en de tabel gebeurt. Kun je hiermee ook exponentieel verval krijgen? Hoe dan?
  • Zoek een situatie waarin sprake is van exponentiële groei. Maak een tabel en voer die in onder gemeten N en zorg voor de juiste stapgrootte.
  • Maak een nieuwe grafiek waarin zowel de berekende als de gemeten waarden voor N zichtbaar zijn. Pas nu de constante c en de startwaarde net zo lang aan, tot het model past bij de gemeten waarden. Hoe bereken je vanuit de gevonden waarde van c de groeifactor?
  • Ga in de werkmap Model Groei.xls naar blad 2.
    Maak zelf een nieuw werkblad voor dit groeimodel, net zoals dat op blad 1. Kies andere cellen om je startwaarden in te zetten.

 

 

 

Het logistisch groeimodel in Excel

Een cultuur bacteriën groeit uiteindelijk niet exponentieel. Als er teveel bacteriën komen, wordt de groei geremd. De snelheid waarmee het aantal `N` groeit is niet meer recht evenredig met het aantal zelf, maar ook met `N_(text(max)) - N`.
Hierin stelt `N_(text(max))` het maximaal aantal bacteriën voor dat onder de beschikbare omstandigheden zou kunnen leven.
Dit betekent:

Als de tijd met een stapgrootte van `1` toeneemt van `t` naar `t + 1`, dan neemt `N` toe met:

 

`text(d)N = N(t+1) - N(t) = c * N(t) * (N_(text(max)) - N(t))`

 

Hierin is `c` een constante en stelt `text(d)N` de verandering van `N` voor.
In het algemeen geldt bij een stapgrootte `text(d)t` dan:

 

`text(d)N = N(t + text(d)t) - N(t) = c * N(t) * (N_(text(max)) - N(t)) * text(d)t`

 

De grootte van de constante hangt af van de omstandigheden waaronder die cultuur bacteriën leeft. Door metingen kun je die constante bepalen. Excel kan namelijk voor verschillende waarden van`c` snel het model doorrekenen en die rekenresultaten kun je dan vergelijken met je meetwaarden.
Merk wel op dat `c` een heel klein getal moet zijn, omdat de uitdrukking `N(t) * (N_(text(max)) - N(t))` van de orde `N^2` is, dus de groei van het aantal bacteriën dan al meteen veel te snel gaat. Als je begint met bijvoorbeeld `1000` bacteriën moet `c` kleiner zijn dan `0,001`.

 

Open nu (met de rechtermuisknop kun je downloaden en door te kiezen 'doel opslaan als...' opslaan onder een eigen naam) de werkmap

 

  Model logistische groei

 

Je ziet daarin hoe het hiervoor beschreven groeimodel is vertaald in een werkblad in Excel. De bovenste rijen worden gebruikt voor informatie over het model. Er staat weergegeven welke variabelen een rol spelen, welke waarden deze variabelen aan het begin (t = 0) krijgen en de modelformules zijn weergegeven. Het:

 

`N(t + text(d)t) = N(t) + c * N(t) * (N_(text(max)) - N(t)) * text(d)t`

 

wordt weergegeven door `N := N + c * N * (Ntext(max) - N) * text(d)t`.
Dat betekent in woorden: "de nieuwe waarde van `N` wordt de oude waarde van `N` plus `c * N * (Ntext(max) - N) * text(d)t`".
De modelformules `t := t + text(d)t` en `N := N + c * N * (Ntext(max) - N) * text(d)t` worden gebruikt om de tabel met resultaten te berekenen. Dat is te zien door te klikken op de cellen A11 en A12 en B11 en B12:

  • In A11 staat als Excel formule: =$D$3, hetgeen betekent dat deze cel de waarde van cel D3 krijgt, dat is de startwaarde voor de tijd.
  • In A12 staat: =A11+$D$4, hetgeen betekent dat A12 de waarde van de cel erboven krijgt plus de stapgrootte (t  := t + dt). Deze formule is daarna gekopieerd naar een flink aantal volgende cellen onder A11, zodat je een mooie tabel krijgt. Omdat A11 geen dollartekens heeft, wordt bij het kopiëren steeds de celwaarde automatisch aangepast. Bijvoorbeeld in A14 komt: =A13+$D$4. Door de dollartekens verandert de verwijzing naar cel D4 niet.
  • In B11 staat: =$D$5, dus cel B11 krijgt de startwaarde die in cel D5 staat.
  • In B12 staat: =B11+$D$6*B11*($D$7–B11)*$D$4, de vertaling van N := N + c*N*(Nmax – N)*dt. Let ook nu op de plaatsing van de dollartekens. Deze laatste formule wordt dan gekopieerd naar alle volgende cellen onder B12 (net zoveel als in de tijdtabel).

 

Dit is een voorbeeld van de vertaling van het logistische groeimodel naar een Excel-werkblad. Door de startwaarden te veranderen, kun je de tabel en de grafiek door Excel laten aanpassen.

  • Experimenteer even met het groeimodel door de startwaarden te veranderen. Kijk wat er met de grafiek en de tabel gebeurt.
  • Zoek een situatie waarin sprake is van logistische groei. Maak een tabel en voer die in onder gemeten N en zorg voor de juiste stapgrootte.
  • Maak een nieuwe grafiek waarin zowel de berekende als de gemeten waarden voor N zichtbaar zijn. Pas nu de constante c en de startwaarde net zo lang aan, tot het model past bij de gemeten waarden.
  • Ga in de werkmap Modelloggroei.xls naar blad 2.
    Maak zelf een nieuw werkblad voor dit groeimodel, net zoals dat op blad 1. Kies andere cellen om je startwaarden in te zetten.

 

 

 

Harmonische trilling in Excel

Hierbij hoort het Excel-rekenblad

 

  Model Harmonische trilling

 

Sla dat rekenblad op je computer op.

Dit rekenblad beschrijft een model voor het trillen van een gewichtje aan een veer als er met de wrijving en het dempen van de trilling geen rekening wordt gehouden. Door de startwaarden te veranderen kun je er ook andere harmonische trillingen mee nabootsen. De gebruikte natuurkundige formules vind je op het werkblad.

  • Bekijk de resultaten op het rekenblad. Stel formules op voor de sinusoïden die horen bij de uitwijking, de snelheid en de versnelling. Controleer je antwoorden door differentiëren
  • Onderzoek welke invloed de veerconstante heeft op de resultaten.
  • Onderzoek welke invloed de massa van het gewichtje op de resultaten heeft.

 

De modelformules zijn in het rekenblad vertaald in de cellen A15 t/m E15 en A16 t/m E15:


ABCDE
15=$D$3=–$D$7*$D$10=$D$8=$D$9=B15/$D$5
16=A15+$D$4=–$D$7*C16=C15+D16*$D$4=D15+E15*$D$4
  • Ga na dat deze vertaling overeen komt met de modelformules.
  • Je ziet dat de modelformules passen bij een trilling waarin geen rekening is gehouden met demping en wrijving.
  • Je kunt algemene formules (sinusoïden) afleiden voor`u(t)`, `v(t)` en `a(t)`, waarin behalve de tijd alleen de veerconstante `c` en de massa m van het gewichtje voorkomen.
  • Hoe zou je de modelformules moeten aanpassen als je met demping rekening wilt houden?

 

 

 

Opwarmen en afkoelen in Excel

Hierbij hoort het Excel-rekenblad

 

  Model Afkoelen

 

Sla dat rekenblad op je computer op.

Het rekenblad beschrijft een model voor het afkoelingsproces van een pan met kokend water. Door de startwaarden te veranderen kun je er ook andere afkoelingsprocessen mee nabootsen. Door de modelformules aan te passen kun je ook het opwarmen van bijvoorbeeld een drankje uit de koelkast mee beschrijven. Je kunt met dit werkblad het volgende experiment uitvoeren:

  • Neem een pan met kokend water. Draai het vuur uit en meet vervolgens elke minuut de temperatuur van het water. Maak een tabel van je meetresultaten.
  • Vergelijk je resultaten met die op het rekenblad. Stel de juiste begintemperatuur en de juiste omgevingstemperatuur op het rekenblad in.
  • Pas de factor op het rekenblad aan tot je een grafiek krijgt die past bij je meetresultaten.

 

Dit afkoelingsproces kan worden beschreven met een formule van de vorm: `Temp = Tomg + a * g^t`.
Hierin zijn `a` en `g` nog te bepalen constanten. De modelformules zijn in het rekenblad vertaald in de cellen A15 t/m D15 en A16 en C16:


ABCD
15=$D$3=D15–$D$6
=$D$5
16=A15+$D$4
=$D$8*B15*$D$4=$D$6+C16
  • Ga na, dat de formule die de groei beschrijft in overeenstemming is met de modelformules.
  • Bepaal a en g zo, dat de formule past bij jouw meetresultaten.

 

Het afkoelen van een kopje koffie kun je ook zo beschrijven.

  • Pas de startwaarden zo aan, dat je dit afkoelingsproces beschrijft.
  • Stel de bijpassende formule op.