Wiles

Met het kraken van de al sinds de 17e eeuw openstaande laatste stelling van Fermat (waarvan Fermat dacht dat hij het al bewezen had; in feite is het een vermoeden gebleven tot de doorbraak van Wiles) haalde Sir Andrew John Wiles (geboren in 1953) midden jaren 90 de voorpagina's van diverse kranten en werd hij op slag beroemd. Tijdens een conferentie in Cambridge in 1993 meldde hij zijn geweldige vondst. Zeven jaar (!) had hij zich teruggetrokken uit allerlei wiskundekringen om te werken aan een van de grootste uitdagingen in de wiskunde: de ogenschijnlijk eenvoudige claim dat de vergelijking x n + y n = z n geen geheeltallige oplossingen ongelijk 0 heeft als n , zelf een geheel getal, groter dan 0 is.
Om de laatste stelling van Fermat te bewijzen, haalde hij van alles uit de algebra en meetkunde van stal en ontwikkelde nieuwe theorie. Uiteindelijk bewees hij een veel dieper liggend resultaat, dat "alle rationale semistabiele elliptische krommen modulair" zijn, waarvan de laatste stelling van Fermat een gevolg is. Toen Wiles zijn bewijs voor het eerst aan de wereld presenteerde, vond een groep van experts na langdurige bestudering toch een gat. Het kostte Wiles, met hulp van Richard Taylor, nog zo'n jaar om het bewijs te repareren. Toen hij zijn pogingen bijna had opgegeven, kreeg hij plotseling het cruciale inzicht.

... suddenly, totally unexpectedly, I had this incredible revelation. It was the most important moment of my working life. Nothing I ever do again ... it was so indescribably beautiful, it was so simple and so elegant, and I just stared in disbelief for twenty minutes, then during the day I walked round the department. I'd keep coming back to my desk to see it was still there - it was still there.

De resultaten van Wiles (en Taylor) beslaan ruim 100 pagina"s en vullen het gehele mei-nummer uit 1995 van de "Annals of Mathematics".
De internationale wiskundige gemeenschap eerde hem in 1998 met een speciale zilveren gedenkplaat. Omdat hij toen al boven de 40 was, kwam hij niet in aanmerking voor de prestigieuze Fields medaille, het wiskunde-equivalent van de Nobelprijs.
Al op tienjarige leeftijd werd Wiles door het probleem gegrepen en het heeft hem daarna nooit meer losgelaten. Omdat al veel mensen hun tanden erop stuk gebeten hadden, zag hij ervan af om aan de laatste stelling van Fermat te werken voor zijn doctorsgraad.

 

» Meer over Wiles
» De geschiedenis van de laatste stelling van Fermat en Diophantische vergelijkingen

De geschiedenis van de laatste stelling van Fermat en Diophantische vergelijkingen

De stelling van Fermat heeft een roemrucht verleden. Pierre de Fermat (1601-1665) was een Franse magistraat die gefascineerd was door wiskunde en vooral door getaltheorie. De geschiedenis gaat terug op een opmerking die Fermat in de marge schreef van zijn exemplaar van het boek van Diophantus (3e eeuw) over getaltheorie. Diophantus bespreekt daar het "splitsen" van een kwadraat (van een geheel getal) als een som van twee kwadraten: zo is bijvoorbeeld 13 2 = 12 2 + 5 2 .
Fermat schrijft dan dat hij een prachtig bewijs heeft gevonden voor het feit dat derdemachten niet in twee derdemachten, vierdemachten niet in twee vierdemachten, enzovoort, te splitsen zijn, maar dat de marge helaas te klein is om het bewijs in op te schrijven. Die kanttekening heeft heel wat mensen gestimuleerd het vermeende bewijs te vinden. In de loop der tijden zijn heel wat speciale gevallen gekraakt (Leonhard Euler (1707-1783) kraakte bijvoorbeeld het geval van de derdemachten in 1753), maar het algemene geval moest wachten tot de jaren negentig van de 20e eeuw. Het is onwaarschijnlijk dat Fermat indertijd inderdaad een bewijs gevonden heeft. De technieken die Wiles gebruikt heeft, waren in de 17e eeuw in ieder geval nog absoluut niet voorhanden.

 

Diophantische vergelijkingen

Bij een diophantische vergelijking is men op zoek naar geheeltallige oplossingen van een of meerdere (veelterm)vergelijkingen, doorgaans in meerdere onbekenden. Zo hoort bijvoorbeeld de vraag hoe je het getal 30 kunt schrijven als het product van twee gehele getallen bij de diophantische vergelijking xy=30 . De geheeltallige oplossingen van de vergelijking x 2 + y 2 = z 2 zijn de zogenaamde Pythagoreïsche drietallen, zoals bijvoorbeeld x=3 , y=4 en z=5 . Diophantische vergelijkingen kunnen er bedrieglijk eenvoudig uit zien.
Zo zo'n vergelijking al is op te lossen, vereist het vaak zeer geavanceerde wiskunde op het grensvlak van getaltheorie, algebra, meetkunde en analyse.

 

 

 

Over Andrew Wiles

Wiles werd geboren in Cambridge (Engeland) en volgde een traditioneel Engels pad: hij haalde zijn Bachelor's graad in Oxford en zijn doctorsgraad in Cambridge. Wiles' voornaamste interesse, al vanaf jonge leeftijd, is getaltheorie, de tak van de wiskunde die zich richt op het doorgronden van de structuur van getallen. Inmiddels is dat een vergevorderd gebied waarin algebra, meetkunde en analyse (de wiskunde van het differentiëren en integreren) niet meer weg te denken zijn. Enerzijds is het een gebied met geweldige puur wiskundige uitdagingen, anderzijds een gebied met fraaie toepassingen, zoals het RSA cryptosysteem dat gebruikt wordt bij de beveiliging van dataverkeer op het web. Wiles werkt voornamelijk aan de puur wiskundige kant. Wiles vervolgde zijn loopbaan aan diverse universiteiten en onderzoeksinstituten in en buiten Engeland. Momenteel is hij Eugene Higgins Professor of Mathematics aan Princeton University in de Verenigde Staten.

» Simon Singh over de zoektocht naar het bewijs (Engelstalig, 53 min.)